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二维线性系统模型及冲激函数应用

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：同一维类似，基本系统分类如下。从连续到数字转换的一个重要函数是冲激函数或δ函数，在二维情况下可写成：凡是不满足叠加性或齐次性的系统属于非线性系统。本书中讨论的都是线性时不变系统模型。根据卷积性质，若系统对输入图像就进行了线性运算H后将得到输出图像，结合线性系统叠加性和齐次性，可得如下表达式：可分离性质δ=δ（x-α）δ（y-β）尽管δ函数并不是普通意义上定义的函数。

图像表达的数学方式一般是二维矩阵，建立在矩阵表达上的图像处理同样可以在时域或变换域进行。同一维类似，基本系统分类如下。

1.线性系统和非线性系统

具有叠加性和齐次性的系统称为线性系统。假如系统的特性可表示成对输入图像进行H运算，并令f₁（x，y）与Hf₁（x，y）以及f₂（x，y）与Hf₂（x，y）分别代表两对输入与输出图像。当系统满足

H[f₁（x，y）+f₂（x，y）]=Hf₁（x，y）+Hf₂（x，y）（5-1）

关系时，称系统具有叠加性。当系统满足

H[kf（x，y）]=kHf（x，y）（5-2）

关系时，称系统具有齐次性。所以普遍来说，线性系统应满足以下关系：

凡是不满足叠加性或齐次性的系统属于非线性系统。

2.位移不变系统与位移变化系统

位移不变系统的特性为：假设系统输入为f（x，y），所得输出Hf（x，y）记为g（x，y）；那么当输入为f（x-x₀，y-y₀）时，对线性系统来说，其输出一般可表达成：

Hf（x-x₀，y-y₀）=g（x，x₀，y，y₀）（5-4）

它与（x，y）及（x₀，y₀）均有关系。对于位移不变系统来说，由于系统参数本身不随位置改变，因此系统的输出与输入的位置没有关系，故位移不变系统的特性可表示成：若Hf（x，y）=g（x，y），故有

Hf（x-x₀，y-y₀）=g（x-x₀，y-y₀）（5-5）

它表明当输入移动一个位置时，输出响应移动同样位置，但其形状不变。实际上，很多成像系统严格来说都是非线性的，但在一定条件下可看成线性的，且是位移不变的。本书中讨论的都是线性时不变系统模型。

从连续到数字转换的一个重要函数是冲激函数或δ函数，在二维情况下可写成：

式（5-6）表示δ函数在出现（x=x₀，y=y₀）时为无限大，在其他各位置上其值为零，而它包含的体积是1。可用图5-2所示数学模型从直观上进行理解此广义函数。

在图5-2中，取中心在（x₀，y₀）点，面积为ε²的方块，有

图5-2 方柱体与δ函数

并考虑在此方块内的一个方柱体冲激：

它在方块面积内取常数值1/ε²，在其他取值为零。由式（5-7）和式（5-8）可见，对任何ε值，方柱体冲激δ_ε（x-x₀，y-y₀）所包含的体积均为1。当ε减少时，方柱体冲激的底面积变小，而其幅度增大。若使ε趋近于零，那么底面积ε²也趋近于零，而幅度1/ε²必趋近于无限大，但方柱体冲激所包含的体积仍然为1。这种极限的情况满足式（5-6）即δ函数，且其具有以下重要性质。

（1）筛选性质

考虑如下积分：

式（5-9）对包含（x₀，y₀）点的任一积分区域都正确。

（2）δ函数是偶函数

与上面的方法相同可得到：

（3）卷积性质

根据式（5-9）和式（5-10）可得：

式（5-11）说明函数f（x，y）与δ（x，y）的卷积再次产生f（x，y），记作f（x，y）*δ（x，y）=f（x，y）。并推广得到：

（4）可分离性质

δ（x-α，y-β）=δ（x-α）δ（y-β）（5-14）

尽管δ函数并不是普通意义上定义的函数。但它有着很强的物理背景。如一幅图像是由无限多个点所组成，每一个像素均可看做是点光源。所以，任意图像f（x，y）均可看做是无限多个点光源的组合。

根据卷积性质，若系统对输入图像就进行了线性运算H后将得到输出图像，结合线性系统叠加性和齐次性，可得如下表达式：

令

Hδ（x-α，y-β）=h（（x，α；y，β）（5-16）

式中，h（x，α；y，β）称为系统单位冲激响应。将式（5-16）代入式（5-15）得

对于任意输入图像都可以按照式（5-17）计算得到输出图像即单位冲激响应完全表征了线性系统的特性。若系统是位移不变的，则系统输出与输入的位置无关，即

Hδ（x-α，y-β）=h（x-α，y-β）（5-18）

于是式（5-17）可简化成卷积形式：

在图像处理中，通常是把成像系统描述成线性位移不变的，因为这种情况基本符合客观实际。系统能描述成线性位移不变具有很多优点，它可采用业已成熟的线性系统理论的许多手段进行分析，易于问题的数学处理。

式（5-19）给出了连续图像函数的卷积形式，用计算机实现时，仍然需要数字化后才能进行运算。假设对图像f（x，y）和系统冲激响应h（x，y）均匀取样，样本数分别为A×B和C×D，并在卷积前都周期性延拓成M×N样本，即

式中，f_e（x，y）和h_e（x，y）都是二维周期性离散函数，在行列方向上的周期长度分别为M、N。这两个函数卷积等于：

显然，g_e（x，y）也是周期性离散函数，它在行列方向上的周期长度同样分别等于M、N。为使卷积不产生卷绕效应，必须选择M≥A+C-1和N≥B+D-1。

若含有M×N点阵的f_e（x，y）和h_e（x，y）用列叠列的方法表示成MN维列向量，则式（5-21）可表示为

g=H·f （5-22）

式中，g及f是MN×1维列向量；H是MN×MN维方阵，包含M²个大小为N×N的分区，按分区排列的H方阵可写为

每一个分区H_j的元素是由h（x，y）的第j行扩展函数组成，即