系统原理同图2-26所示，对应的输出为式中式中Tk的表达式与apDCT时相同。此外，apDWT具有与apDCT相同的传输特性函数形式，因此也具有严格零相位的特性。图4-11 基于apDWT子带分解信号图实际上，不论是何种正交变换，按照全相位信号处理方法得到的ap都可以对信号进行去除分段效应的滤波和处理，它是建立在新概念上的一种滤波系统。......
2023-06-23
变换域全相位信号处理优化技巧
【摘要】：图4-12 变换域信号处理图对于N阶系统，时刻n输入xn=[x，x（n-1），…其中X1是1维N阶全相位输入信号，即式就是全相位数字信号处理得到的输出与输入的数学关系表达。把式称为全相位变换，矩阵A称为全相位变换基，矩阵T则为全相位变换核。综合以上，变换域全相位数字信号处理一种可能实现如图4-16所示。
对于傅里叶、余弦及沃尔什等正交变换的信号处理基本思路是结合输入信号特性和应用需求选择合适的正交基，在变换域内用传输特性H进行处理后再反变换得到对应的输出，其原理如图4-12所示。
图4-12 变换域信号处理图
对于N阶系统，时刻n输入xn=[x（n），x（n-1），…，x（n-N+1）]T，则根据图4-12所示的处理过程，输出yn等于：
yn=β·[H
（α·xn）] （4-62）
式中，α=[αij]N×N，β=[βij]N×N；H=[H0，H1，…，HN-1]T；
表示对应元素相乘。将式（4-62）展开，对于n时刻输出中任意元素y（n-i）等于：
矩阵T由正反正交基和特性向量H共同定义，具有共轭对称特性。如果以H的N个元素构成对角矩阵并也记为H，由图4-12容易得到：
T=β·H·α=（α*）T·H·α （4-64）
全相位信号处理的基本思想是对x（n）所在的N个分块作为输入时得到的N个输出的平均作为最终结果。可以用图4-13进行说明。
图4-13 全相位信号处理示意图
结合式（4-63），全相位处理后对应x（n）的输出y（n）为
按图4-14所示交换求和区间。
图4-14 交换求和区间
式（4-65）可进一步表示为
式（4-66）就是全相位数字信号处理得到的输出与输入的数学关系表达。其中X1是1维N阶全相位输入信号，即
矩阵A由矩阵T元素按下列方式构成：
把式（4-66）称为全相位变换，矩阵A称为全相位变换基，矩阵T则为全相位变换核。全相位变换基也可以通过核T顺时针旋转45°后补零而构成，如图4-15所示。
图4-15 旋转全相位核得到变换基矩阵A
全相位反变换可通过下面方式实现：
X1=（AT A）-1·[ATy（n）] （4-69）
综合以上，全相位变换的关键是构造基矩阵A，可参考以下步骤：
1）定义传输特性向量H；
2）按照式（4-64）求出全相位变换核矩阵T；
3）按照式（4-68）构造全相位变换基矩阵A；
4）按照式（4-66）进行全相位变换。
对于全通系统即H=[1，1，…，1]T，无论哪种正交变换，对应的核T为单位矩阵，所以基矩阵A只有中间元素为1，其余2N-2个元素为0，从而输出y（n）=x（n）。对于一般情况，在傅里叶变换域时，有
显然，核矩阵满主对称性：
Tk，i=TN-1-i，N-1-k （4-71）
容易求得全相位傅里叶变换基矩阵A等于：
线性apDFT系统即满足H（k）=H（N-k），由式（4-66）和式（4-72）求得传输特性如下：
对于apDWT，全相位变换核等于：
由式（4-74）易知，apDWT核同时具有主对称性（即Ti，k=Tk，i）和次对称性（TN-1-i，N-1-k=Tk，i）。相应的变换基具有中心对称性，4阶apDWT变换基如下：
对于apDCT，全相位变换核无法合并，所以没有更具体的数学表达式，但基和核矩阵都具有上述对称性。
综合以上，变换域全相位数字信号处理一种可能实现如图4-16所示。
图4-16 变换域全相位信号处理原理图
图4-16中Xn是N个与x（n）相关的输入向量构成的矩阵，即
构造传输特性矩阵H如下：
则全相位处理后输出等于：
把式（4-78）进一步展开求得输出为
这与式（4-65）结论相同，即全相位信号处理是对以x（n）为中心的2N-1个数据进行全相位变换。对于apDCT、apDWT和对称传输特性的apDFT，变换基具有中心对称性，因此全相位系统具有严格零相位。与图4-16等效的全相位信号处理图如图4-17所示。
图中，y（n）是对应于x（n）的输出，全相位处理把以x（n）为中心的2N-1个数据按照与x（n）不同距离映射成不同权值A i，而求得传输特性。对比模拟系统的一一映射物理关系，可通过加窗以提高x（n）在输入中的比重，一方面降低输出对x（n）边缘数据的依赖，另一方面使全相位处理模拟化而改善传输特性。在图4-16的基础上，加入前后窗向量的变换域ap如图4-18所示。
图4-17 全相位信号处理原理图
图4-18 双窗全相位信号处理
按照与上面未加窗时推导方法可得到全相位变换核为
对比式（4-68）可知双窗全相位变换基如下：
加窗全相位变换核都得到加权，Ti，j的权重等于B i F j，可以通过下列方式产生：
图4-19 卷积窗生成过程
图4-19中
表示对应元素相乘，处理过程类似卷积处理，因此把向量C称为卷积窗。实际上，由上面推导apDFT可看出，全相位变换基权重就是前后窗卷积结果，对于无法合并核的apDCT或apDWT等变换域全相位信号处理，变换基权重是相互分离的。此外，由于引入卷积窗，对线性也产生了影响。下面分无窗、单窗和双窗三种情形进行讨论。
（1）无窗全相位处理。
除apDFT外其他正交变换基都是实矩阵，所以全相位核满足主对称性；ap- DFT在传输特性满足对称条件下也使得全相位核具有主对称性。对无窗处理情形，F=B=1，所以无窗apDFT具有严格零相位的充要条件是H（N-k）=H（k）（k=0，1，…，N-1）；基于其他实正交基的全相位信号处理均具备严格零相位。
（2）单窗全相位处理。
假设B=1（F=1情形可类似推导），因为全相位核具有次对称性，观察式（4-81）易知全相位基具有中心对称的充要条件是Fk=FN-1-k（k=0，1，…，N-1）。
（3）双窗全相位处理。
全相位核具有主对称性和次对称性，由式（4-80）可知
对于apDCT、apDWT等实正交变换基，式（4-82）的求和项满足：
对于满足H（N-k）=H（k）的apDFT，式（4-82）的求和项满足：
所以，式（4-82）成立的充要条件之一是前后窗相等即F=B。满足次对称性时，式（4-83）和式（4-84）仍然成立，则式（4-82）成立的第二个重要条件是F（k）=F（N-1-k）且B（k）=B（N-1-k）即前后窗满足中心对称性。
加窗的主要作用是提升信号主要成分在输出中的占比而进一步改善系统传输特性。上面介绍的加窗全相位信号处理方法中窗是固定不变的，如果始终把最大权值对准移动的信号分量x（n）即形成滑动窗则可以再次改善特性。如何寻找窗以使特性在某种准则下最优是值得研究的内容。
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2023-06-23
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