DCT域全相位滤波器的优化设计

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：国际标准建议CCITT H.261、JPEG、MPEG中都采用8×8的块做DCT，但基于DCT的数字滤波尚不普遍。为使DCT所具有的优良特性能在数字滤波中得到充分发挥，结合全相滤波的概念提出了DCT域ap系统设计。TN-2TN-1]，其传输特性为显然，apDCT具有严格零相位。实现无窗、单窗和双窗apDCT与传统滤波器特性的MATLAB代码如下：显然，apDCT具有严格零相位。利用apDCT的各子带滤波器对图像的一行进行子带滤波的结果如图4-8所示。

在诸多正交变换中，离散余弦变换（DCT）与K-L变换性能最接近，它们是在最小均方误差准则下进行的较理想变换。DCT已被广泛地应用在图像压缩和特征提取等方面。国际标准建议CCITT H.261、JPEG、MPEG中都采用8×8的块做DCT，但基于DCT的数字滤波尚不普遍。主要原因有：①做DCT/IDCT滤波处理时首先要对数据序列方块化，由此带来的问题是滤波值不但与方块的起点有关，而且在块与块的连接处留有方块化痕迹；②尽管DCT有快速算法.但与通常数字滤波的卷积算法相比并不具有速度优势，而且在运算中还要进行许多数据的重排、移位、缓存等工作，硬件实现比较复杂；③在许多场合为避免波形失真需要滤波器具有线性相位特性，一般DCT/IDCT滤波不具有这种特性。为使DCT所具有的优良特性能在数字滤波中得到充分发挥，结合全相滤波的概念提出了DCT域ap系统设计。

基于DCT的ap系统是对经加窗处理后的输入信号作离散余弦变换，得到DCT域信号按传输特性H处理后经过IDCT，并再次加窗处理后移位相加输出。系统原理同图2-26所示，对应的输出为

式中

不难证明，矩阵A满足：

A（i，j）=A（j，i）A（N-1-i，N-1-j）=A（i，j）（4-53）

容易证明，DCT域ap系统（简记为apDCT）仍具有在DFT域时的诸多性质，如对H的线性性，线性相位的充分条件前后窗相等（即F=B）。对于线性apDCT，由上式可知，T_k=T_-k（k=0，1，…，N-1），观察式（4-54），T_k由卷积窗C和矩阵A按下列方式生成：

矩阵A的计算根据式（4-53）的对称性可节省约3/4计算量，对于卷积窗C，如果基窗B具有中心对称性质，并令i′=N-1-k-i则根据式（4-54）有

上式表明，T_k中N-k个求和项满足中心对称，所以T_k又可以写为

式中

另一方面，apDCT的传输特性由基序列H决定，确定过滤哪些余弦基信号分量。对于互补的H₁和H₂即H₁+H₂=1，有

由（4-51）式可知，与N阶apDCT滤波器等效的FIR滤波器的单位冲击响应序列由T_k构成，即h=[T_-N+1 T_-N+2…T_-1T₀T₁…T_N-2T_N-1]，其传输特性为

显然，apDCT具有严格零相位。实现无窗、单窗和双窗apDCT与传统滤波器特性的MATLAB代码如下：

(https://www.chuimin.cn)

函数cosFun用于生成余弦基矩阵，freqFIR是频率取样法响应值。运行结果如图4-6所示。

图4-6 apDCT与传统法特性曲线

由图4-6可以看出，apDCT得到的滤波器特性无论在通带和阻带内波动均小于传统频率采样法，但过渡带宽度明显增加；对于不同基窗带来的性能改善及频率采样误差的深入剖析是值得研究的方向。

通过设置H可方便地设计子带滤波器，如以Bartlett为基窗的2倍频16阶双窗apDCT的5个子带特性如下：

按照上述函数apDCT求得各子系统冲击相应如下：

各子带的传输特性如图4-7所示。

图4-75 个子带特性曲线

实现上述结果的MATLAB代码如下：

利用apDCT的各子带滤波器对图像的一行进行子带滤波的结果如图4-8所示。signal为原始信号，H0～H4分别为三个带通子带信号，H0为低通子带信号，H4为高通信号。由图中可以看出，四个子带均无方块化痕迹。因此，apDCT可以广泛应用于以离散余弦变换为基础的数字处理场合。在数字滤波、数字压缩以及信号的特征提取等方面可取代传统分块处理方法，利用其线性相位特性有效消除信号的波形失真。

图4-8 基于apDCT子带分解信号图

实现图4-8所示结果的MATLAB代码如下：

DCT域全相位滤波器的优化设计

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