卡洛变换详解

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：离散卡-洛变换是根据信号的统计特性性质进行正交展开。由式表示的变换称为离散卡-洛变换，系数向量g是信号向量通过该正交变换得到的，称之为主成分信号向量。离散卡-洛变换主要用于遥感多光谱信号中特征选择及数据压缩方面。因为是λi单调递减的，如果所选M个特征向量与M个最大特征值对应，那么用式来重建信号向量的误差最小，所以在最小均方误差的意义上讲，离散卡-洛变换是最优的。

离散卡-洛变换是根据信号的统计特性性质进行正交展开。对于取样序列可看作随机场的一个样品，当数字信号用向量形式描述时，随机场中每个长度为N的信号都可表达成N维向量。如第i个信号序列可表示成向量x_i=[x_i（0），x_i（1），…，x_i（N-1）]^T，则由向量构成的随机场统计特性可由均值向量和自协方差矩阵表示如下：

自协方差矩阵的特征向量a _i和特征值λ_i关系如下：

C_x a _i=λ_i a _i，i=0，2，…，N-1 （4-41）

式中，C_x是N阶方阵；a _i是N维向量。由于自协方差矩阵式是对称方阵，因此总可以找到N个相互正交的特征向量，从而构成了N维空间完备正交向量系。于是，对于N维空间中任意向量x-m_x可以正交展开成

自协方差矩阵的特征向量a _i和特征值λ_i关系如下：

C_x a _i=λ_i a _i，i=0，2，…，N-1 （4-41）

式中，展开式系数g_i为

g_i=α^T_i（x-m_x）（4-43）

按特征值递减顺序对下标i标号，即λ₀≥λ₁≥λ₂≥…≥λ_N-1，则对应特征向量按下式组成正交变换矩阵A：

A=[a₀ a₁…a_N-1]^T（4-44）则式（4-41）和式（4-43）可分别表示成：

式中，展开式系数g_i为

g_i=α^T_i（x-m_x）（4-43）

按特征值递减顺序对下标i标号，即λ₀≥λ₁≥λ₂≥…≥λ_N-1，则对应特征向量按下式组成正交变换矩阵A：

A=[a₀ a₁…a_N-1]^T（4-44）则式（4-41）和式（4-43）可分别表示成：

式中，Λ是以N个特征值为元素构成的对主对角矩阵；g是N个系数g_i构成的列向量即g=[g₀，g₁，…，g_N-1]^T。由式（4-44）表示的变换称为离散卡-洛变换，系数向量g是信号向量通过该正交变换得到的，称之为主成分信号向量。主成分信号向量g的均值m_g=E{g}=AE{x}-Am_x=0，所以自协方差矩阵：

式（4-46）说明各主成分互不相关且每个特征值λ_i是g_i的方差，即

根据式（4-43），考虑到A是正交矩阵，故有

x=A^T g+m_x （4-48）

式（4-48）表明可用主成分来精确重建向量x。若用M个最大特征值所对应的特征向量组成变换矩阵A_M来代替A，即A_M=[a₀，a₁，…，a_M-1]^T（M<N），则得系数向量为g_M=A_M（x-m_x），由此重构信号x得：

根据式（4-43），考虑到A是正交矩阵，故有

x=A^T g+m_x （4-48）

显然它不等于原来信号x值，误差为

因为是λ_i单调递减的，如果所选M个特征向量与M个最大特征值对应，那么用式（4-49）来重建信号向量的误差最小，所以在最小均方误差的意义上讲，离散卡-洛变换是最优的。但该变换矩阵A要用取样序列的自协方差矩阵来计算，因而随信号类型不同而各异，需求快速算法是值得研究的内容。离散卡-洛变换主要用于遥感多光谱信号中特征选择及数据压缩方面。

卡洛变换详解

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