沃尔什基矩阵与一维变换时相同，由沃尔什函数产生。由沃尔什矩阵可以构成二维沃尔什函数的基本图像。表5-24 阶沃尔什基本图像矩阵与傅里叶基本图像不同的是，沃尔什变换等其他正交变换基图像均是实矩阵。二维哈达玛变换基矩阵与沃尔什基矩阵只是行向量排列顺序不同，正反变换形式相同。......
2023-06-23
哈达玛变换：理论与应用
【摘要】：在数字信号处理中，为了可进行快速运算，取样数通常取2的整数次幂，因而沃尔什变换和哈达玛变换这两种称呼常被混用。有时，这两类变换被统称为沃尔什-哈达玛变换。哈达玛变换基具有简单的递推关系，给计算带来很大方便。按照式生成哈达玛矩阵的MATLAB代码如下：N=4时运行结果如图4-4所示。2阶哈达玛变换基等于：式中，表示克罗内克直积。所以，反变换哈达玛基等于正变换哈达玛基。
由上面分析可知，离散沃尔什变换是对[0，1]区间上的连续沃尔什函数进行等间隔取样的结果，因为沃尔什函数是一组完备正交函数集，故可用于正交变换。从本质上说，哈达玛变换与沃尔什变换是相同的，它们的区别在于当取样数N是2的整数幂时，这两类变换基仅仅是行（列）的顺序不同；当N不是2的整数幂时，沃尔什变换可用于任意正整数，而哈达玛变换仅能用到N=200。在数字信号处理中，为了可进行快速运算，取样数通常取2的整数次幂，因而沃尔什变换和哈达玛变换这两种称呼常被混用。有时，这两类变换被统称为沃尔什-哈达玛变换。哈达玛变换基具有简单的递推关系，给计算带来很大方便。一维哈达玛正变换核由下列公式给出：
a（i，j）=（1/N）（-1）p（i，j），i，j=0，1，2，…，N-1 （4-31）
式中
需注意的是，式（4-32）中符号∑表示模2加法，kn（i）表示数z的二进制表示中第i个比特值。按照式（4-31）生成哈达玛矩阵的MATLAB代码如下：
N=4时运行结果如图4-4所示。MATLAB定义的哈达玛内联函数是hard- mard（n）。当N=2n（n为整数）的哈达玛变换基可通过下面递推公式求得：
图4-4 4阶哈达玛基函数
式中，
表示克罗内克（Kronecker）直积。2阶哈达玛变换基等于：
采用式（4-33）生成哈达玛变换基的MATLAB代码如下：
结合式（4-33）和式（4-34）易知哈达玛基是正交基；又由式（4-32）可知哈达玛基具有对称性。所以，反变换哈达玛基等于正变换哈达玛基。
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2023-06-23
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2023-11-18
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2023-06-23
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2023-06-24
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2023-06-23
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