传统窗函数特性及性能优化

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：定义如下三个衡量窗函数性能指标的参数：为保证滤波器相位特性不因加窗而改变，一般要求w恒为正。显然，理想窗函数应有最小的B和A及最大的D。图3-4 窗函数w及性能指标示意1.矩形窗w=1，n=0，1，…三项衡量指标分别为：B=1.2689Δω，A=-22.0788dB，D=-11.2495dB/oct。，（N-1）/2图3-7 余弦窗及谱图图3-7 余弦窗及谱图图3-8 余弦窗谱相位特性其谱函数为W=0.5U（ω）+0.25{U[ω-2π/（N-1）]+U[ω+2π/（N-1）]}

对窗向量w总的要求是希望其频谱中主瓣尽量窄，边瓣幅度尽量小，即频域能量主要集中在主瓣内。此外，w还应满足下列要求以便可定量地比较各窗性能：

非负实偶且从对称中心向两边非递增；

保证滤波器的通带增益为1，即

为保证滤波器相位特性不因加窗而改变，一般要求w恒为正。

定义如下三个衡量窗函数性能指标的参数：

1）3dB带宽B，它是主瓣归一化幅度下降到-3dB时的带宽。当数据长度为N时，最大可能的频率分辨率是Δω=2π/N，则B的单位可以是Δω。

2）最大旁瓣峰值A（dB），A越小表明由旁瓣引起的振荡幅度越小。

3）旁瓣峰值渐进衰减速度D（dB/oct，oct表示倍频程）。

显然，理想窗函数应有最小的B和A及最大的D。典型的窗函数及三项指标含义如图3-4所示。

在MATLAB中有生成矩形窗、三角窗、巴特列特窗、布莱克曼窗、切比雪夫窗、汉明窗、汉宁窗和凯撒窗的函数。下面画出其波形及幅频响应曲线并给出三项指标，同时给出w从0到N-1和从-（N-1）/2到（N-1）/2的解析式，它们分别以n=（N-1）/2和n=0为对称（只讨论N为奇数情形，给出的图形以n=0对称）。

图3-4 窗函数w及性能指标示意

1.矩形窗（Rectangle Window）

w（n）=1，n=0，1，…，N-1

w（n）=1，n=-（N-1）/2，…，-1，0，1，…（N-1）/2

其谱函数为

实现w及谱W的MATLAB代码如下：

运行结果如图3-5所示。三项衡量指标分别为：B=0.8872Δω，A=-13.1468dB，D=-13.1777dB/oct。

2.三角窗（Bartlett Window）

或

其谱函数为

图3-5 矩形窗及谱图

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

运行结果如图3-6所示。三项衡量指标分别为：B=1.2837Δω，A=-25.7022dB，D=-25.8864dB/oct。

3.余弦窗（Cosine Window）

w（n）=sin[nπ/（N-1）]n=0，1，2，…，N-1

或 w（n）=cos[nπ/（N-1）]n=-（N-1）/2，…，-1，0，1，…，（N-1）/2

其谱函数为

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

图3-6 三角窗及谱图

运行结果如图3-7所示。三项衡量指标分别为：B=1.2689Δω，A=-22.0788dB，D=-11.2495dB/oct。

值得注意的是，U[ω-2π/（N-1）]和U[ω+2π/（N-1）]的幅值没有共同零点，所以谱W值均大于零，只在两边无穷远处趋近于零。此外，U（ω）含有相位信息，因此谱W整体不具备线性相位。其相位特性如图3-8所示。

4.汉宁窗（Hanning Window）

w（n）=sin²[nπ/（N-1）]=0.5-0.5cos[2nπ/（N-1）]n=0，1，…，N-1

或 w（n）=cos²[nπ/（N-1）]=0.5+0.5cos[2nπ/（N-1）]

n=-（N-1）/2，…，-1，0，1，…，（N-1）/2

图3-7 余弦窗及谱图

图3-8 余弦窗谱相位特性

其谱函数为

W（e ^jω）=0.5U（ω）+0.25{U[ω-2π/（N-1）]+U[ω+2π/（N-1）]}

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

运行结果如图3-9所示。三项衡量指标分别为：B=1.5260Δω，A=-31.4167dB，D=-17.7265dB/oct。同余弦窗的情形相似，其谱没有出现零点。其相位特性如图3-10所示。

图3-9 汉宁窗及谱图

图3-10 汉宁窗谱相位特性

5.汉明窗（Hamming Window）

w（n）=0.54-0.46cos {2nπ/（N-1）}n=0，1，…，N-1

或 w（n）=0.54+0.46cos[2nπ/（N-1）]

n=-（N-1）/2，…，-1，0，1，…，（N-1）/2

其谱函数为

W（e ^jω）=0.54U（ω）+0.23[U[ω-2π/（N-1）]+U[ω+2π/（N-1）]]

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

运行结果如图3-11所示。三项衡量指标分别为：B=1.3495Δω，A=-39.0547dB，D=-5.6532dB/oct。同汉宁窗的情形相似，其谱没有出现零点。其相位特性如图3-12所示。

图3-11 汉明窗及谱图

图3-12 汉明窗谱相位特性

6.布莱克曼窗（Blackman Window）

w（n）=0.42-0.5cos[2nπ/（N-1）]+0.08cos[4nπ/（N-1）]n=0，1，…，N-1

或者 w（n）=0.42+0.5cos[2nπ/（N-1）]+0.08cos[4nπ/（N-1）]

n=-（N-1）/2，…，-1，0，1，…，（N-1）/2

其谱函数为

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

运行结果如图3-13所示。三项衡量指标分别为：B=1.7439Δω，A=-55.2107dB，D=-8.2572dB/oct。同汉明窗的情形相似，其谱没有出现零点。其相位特性如图3-14所示。

7.帕普利斯窗（Papoulis Window）

或者

其谱函数为

图3-13 布莱克曼窗及谱图

图3-14 布莱克曼窗谱相频特性

实现w及谱W的MATLAB代码如下（只列出不同部分）：

运行结果如图3-15所示。三项衡量指标分别为：B=1.6453Δω，A=-46.5291dB，D=-29.1660dB/oct。帕布里斯窗谱出现零点且具有恒定零相位特性。

图3-15 帕布里斯窗及谱图

综合以上，矩形窗谱具有最窄的主瓣，但旁瓣峰值也最大；三角窗谱和余弦窗谱主瓣宽度稍宽，但具有较小旁瓣和较大衰减速度。整理各种窗谱指标见表3-1。

表3-17 种窗的4项指标

A与B或者D与B在限定算法中基本不能同时改善，为综合衡量窗谱三项指标而定义两个变量：每频率分辨率的最小旁瓣衰减A/B（单位是dB/rad）和每频率分辨率的衰减速度（单位是dB/oct/rad）。它们也分别称为窗口速度和窗口加速度，即

表3-1中七种窗的a_w和s_w对比图如图3-16所示。

图3-16 七种窗a_w和sw

实现图3-16的MATLAB代码如下：

观察图3-16可以发现，布莱克曼窗谱具有最高窗口速度但加速度最小，矩形窗谱窗口速度最小，但加速度大于余弦窗和汉宁窗，三角窗和帕普利斯窗谱的窗口速度和加速度均良好。如果把计算复杂度考虑进去，三角窗是FIR滤波器窗函数设计法中比较好的选择。除上面常见的7种窗外，还有Kaiser窗、Cheby_- shev窗、Cauchy窗、Gaussian窗等，它们都可对滤波器性能起到一定的改善作用。

为了得到较好性能的滤波器，在设计时选择合适的窗函数是必要和非常重要的问题。但由于滤波器过渡带带宽与阻带最小衰减相互矛盾，在一定程度上，任何窗函数只能牺牲其中一项指标来换取另一项的改善，同时，滤波器的设计应该结合信号特性和处理目的来进行。

传统窗函数特性及性能优化

相关推荐