窗函数的作用及其影响分析

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：2）通带内增加了波动，在ωc-2π/N处出现过冲为0.089的最大正峰。3）阻带内产生了余振，在ωc+2π/N处出现过冲为-0.090的最大负峰。图3-2是当N分别取4、8、16、32时Hdg（ω）和Hg（ω）的波纹变化。图3-3中，当阶数N由24增大到216时，由于旁瓣数量的增加致主瓣能量占比逐渐降低，最大正峰的过冲程度也随着N的增大而逐渐减小，但阶数增大至210以后，过冲程度基本没有再改善。

对信号进行各种处理时，由于受到处理时间和计算机存储容量的限制，实际被处理的只能是有限长度的样本，即原始信号必然要被截短，相当于用矩形窗对信号进行调制，从而导致泄漏误差。设h_d是理想低通滤波器的单位冲击响应序列，h是从长度为N的矩形窗口R_N看到的一段序列（即h_d=h·R_N），则滤波器频谱为

式中，H_d（e^jω）和R_d（e^jω）分别是h_d和R_N的傅里叶变换。矩形窗谱函数等于：

线性理想的低通滤波器H_d（e^jω）=H_dg（ω）e^-jαω，幅频特性H_dg（ω）满足：

把式（3-2）和式（3-3）代入到式（3-1）得到：

式（3-4）说明滤波器幅频特性等于理想低通滤波器幅频特性H_dg（ω）与矩形窗幅频特性R_Ng（ω）的卷积，形成过程可简单地由图3-1来描述。

图3-1 卷积过程构造的低通滤波器

实现上述结果的MATLAB代码如下：

当ω=0时，H（0）为图3-1中当R_Ng（ω）处于H_dg（ω）中央位置时两者乘积的积分，相当于对R_Ng（ω）在[-ω_c，ω_c]之间波形积分；当ω_c≥2π/N时，此结果近似在[-π，π]之间波形积分，将H（0）值归一化到1；当ω等于截止频率ω_c时即图3-1左右两个R_Ng（ω），积分近似为一半波形积分时，相对H（0）归一化后的值为0.5；当ω=ω_c+2π/N时，R_Ng（ω）主瓣完全移到积分区间H_dg（ω）外面，最大负峰完全在区间[-ω_c，ω_c]中，因此H_g（ω）在该点形成最大的负峰；当ω=ω_c-2π/N时，H_g（ω）产生最大正峰。最大正峰与最大负峰对应的频率相距4π/N。通过以上的分析，对h_d加窗处理后滤波器幅值特性H_g（ω）与原理想特性H_dg（ω）的差别主要有以下几点：

1）ω_c附近产生宽度约为4π/N即主瓣宽度的过渡带。

2）通带内增加了波动，在ω_c-2π/N处出现过冲为0.089的最大正峰。

3）阻带内产生了余振，在ω_c+2π/N处出现过冲为-0.090的最大负峰。

4）H_dg（ω）波动愈快（N加大时），H_g（ω）通带和阻带内波动愈快；

5）H_dg（ω）旁瓣大小直接影响H_g（ω）波动大小。

图3-2是当N分别取4、8、16、32时H_dg（ω）和H_g（ω）的波纹变化。

以上五点就是所谓的吉布斯（Gibbs）效应，它直接影响滤波器性能。通带内波动影响滤波器通带平稳性，阻带波动影响阻带最小衰减，同时滤波器一般都要求过渡带越窄越好。增加N可有效地控制过渡带宽度，但并不是减少吉布斯效应的有效方法。通过以下实验可证实此结论，研究当H_dg（ω）的主瓣右零点处于矩形窗右边界点作为右移动起始位置，以频率分辨率2π/N为步长，则H_dg（ω）主瓣及单边各个旁瓣的谱面积（有负值）之和即为最大正峰、过渡点、最大负峰及各个阻带波纹的幅度。同时，还可统计阶数N变化时最大正峰值和主瓣能量占比的变化规律。

图3-3中，当阶数N由2⁴增大到2¹⁶时，由于旁瓣数量的增加致主瓣能量占比逐渐降低，最大正峰的过冲程度也随着N的增大而逐渐减小，但阶数增大至2¹⁰以后，过冲程度基本没有再改善。实现上面结果的MATLAB代码如下：