即N阶频域全相位滤波器与2N-1阶加三角窗的FIR滤波器等效，此FIR滤波器的单位冲击响应是全相位滤波器特性H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓，第一等效图如图2-17所示。图2-17 N阶无窗全相位滤波器第一等效图以下MATLAB代码验证了图2-17与图2-15的DFT域全相位等效。......
2023-06-23
DFT域双窗全相位数字滤波器优化方法
【摘要】：为进一步改善系统性能，充分发挥窗函数在滤波器设计中的作用，综合上面两种情形得到在DFT前和IDFT后均加窗的全相位数字滤波器结构如图2-26所示。图2-28 加双窗对比单窗滤波结果对比上面介绍的3种带窗全相位数字滤波器具有完全相同的FIR滤波器等价结构，区别仅仅在于卷积窗的生成方法。为了便于讨论，将第1种类型称无窗全相位数字滤波器，第2种和第3种类型称单窗全相位数字滤波器，第4种类型称双窗全相位数字滤波器。
为进一步改善系统性能，充分发挥窗函数在滤波器设计中的作用，综合上面两种情形得到在DFT前和IDFT后均加窗的全相位数字滤波器结构如图2-26所示。
图2-26 加双窗的全相位数字滤波器结构
在前窗F和后窗B的作用下，图2-26在n时刻的输出为
卷积窗Cd由前窗与后窗镜像后卷积产生，通过调节F和B来改善系统性能，灵活性和实用性都好于单窗。双窗全相位数字滤波器的归一化充分条件也满足式（2-40），对于线性相位系统的等价条件如下：
对比无窗、单窗和双窗全相位数字滤波器特性的MATLAB实现（N=32）如下：
运行结果如图2-27所示。可以看出，双窗系统在通带和阻带内的波纹基本消失，且对比单窗在过渡带的吉布斯脉冲也消失，第一旁瓣衰减比单窗降低50dB，具有十分优良的特性。
图2-27 无窗、单窗和双窗全相位数字滤波器特性对比
分别用单窗和双窗全相位滤波方法对由频率为16Hz和48.4Hz两正弦波构成的输入信号进行滤波实验，滤波器阶数为32，频率分辨率为16Hz/s，设定H=[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0]以恢复得到48.4Hz正弦波。其MATLAB代码如下：
得到的结果和误差如图2-28所示（误差平均值分别为0.0010、4.9608e-004）。
图2-28 加双窗对比单窗滤波结果对比
上面介绍的3种带窗全相位数字滤波器具有完全相同的FIR滤波器等价结构，区别仅仅在于卷积窗的生成方法。实际上，对于“不加窗”的情况可视为前后都加矩形窗，因而4种类型均为带双窗系统。只是在第1种类型中前后都是矩形窗，第2种类型后窗是矩形窗，第3种类型前窗是矩形窗，第4种类型前后窗都不是矩形窗。为了便于讨论，将第1种类型称无窗全相位数字滤波器（all phase filter without Window，apFW），第2种和第3种类型称单窗全相位数字滤波器（all phase filter with Single Window，apSW），第4种类型称双窗全相位数字滤波器（all phase filter with Dual Windows，apDW）。apNW、apSW和apDW对应的卷积窗分别记为Cn、Cs和Cd，生成方式和归一化条件如下：
与apNW、apSW和apDW等价的FIR滤波器结构则可以表示如图2-29所示。
图2-29 apNW、apSW和apDW对应的FIR滤波器
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2023-06-23
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2023-06-23
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2023-06-23
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