DFT域单窗全相位数字滤波器优化设计

2023-06-23 理论教育版权反馈

【摘要】：图2-22 加前单窗的全相位数字滤波器记前窗序列为F=[f（N-1）…因此，对比无窗全相位数字滤波器的唯一区别就是卷积窗的大小和形状。从图中可看出，单窗全相位数字滤波器极大地改善了通带及阻带内的波纹数量且降低了波纹幅度，最小旁瓣衰减也降低了6.8dB。图2-23 加前单窗对比无窗全相位数字滤波器特性在MATLAB代码中可以设置不同的窗函数来调整滤波器特性，设置不同的H来对信号进行滤波。

由上节内容可知，全相位数字滤波器兼有加窗和频域设计的双重优点，但没有改善通带和阻带内的振荡幅度大小，这可由图2-16的幅频特性曲线可以看出。实际上，在对全相位数字滤波器中的输入没有经过任何预先处理情况下的输出，是与x_n相关的N个数据块分别延迟k（k=N-1，N-2，…，1，0）所产生的N个输出结果的算术平均，可以用下式表示：

这个全相位数字滤波器可等效为带有对称三角窗的FIR滤波器。若将输入先加权（即加窗后）再进行滤波，则等效的FIR中的卷积窗就会改变，从而改变滤波器特性。

全相位数字滤波器中加的窗序列可在DFT前或IDFT之后，即对时域信号加权。在DFT前加窗的系统如图2-22所示。

图2-22 加前单窗的全相位数字滤波器

记前窗序列为

F=[f（N-1）…f（1）f（0）] （2-37）

与2.2.1节推导无窗全相位系统相同方法可得到输出为

将式（2-38）展开得：

式中，C_s是卷积窗序列，由图2-22中的前窗序列与长度为N的矩形窗R_N自身镜像反转后卷积形成，冲击响应序列h_c（n）=h（n）·C_s（n）。由上面结果可以看出，对于加前窗F的全相位数字滤波器也等效于2N-1阶带窗FIR滤波器，窗序列是由F和矩形窗卷积产生，系统的单位冲击响应等于H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓。因此，对比无窗全相位数字滤波器的唯一区别就是卷积窗的大小和形状。

需要指出的是，为保证输出y（n）幅度的正确性，需对卷积窗进行归一化处理。观察式（2-39），只需卷积窗所有元素之和等于N就可以保证幅度不失真，即

单窗全相位滤波器的归一化充分条件是前窗矢量的1-范数等于1。对于具有线性相位的单窗系统，式（2-40）等价于

在后面介绍的全相位性质可知式（2-41）也是充分条件。实现单窗系统的MATLAB代码如下：

此代码画出了加三角窗时的传输特性曲线，并与无窗时的特性进行了对比，结果如图2-23所示。从图中可看出，单窗全相位数字滤波器极大地改善了通带及阻带内的波纹数量且降低了波纹幅度，最小旁瓣衰减也降低了6.8dB。

图2-23 加前单窗对比无窗全相位数字滤波器特性

在MATLAB代码中可以设置不同的窗函数来调整滤波器特性，设置不同的H来对信号进行滤波。输入信号由频率16Hz和32.1Hz两正弦波构成，滤波器阶数为32，频率分辨率为16Hz/s，设定H=[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0]以恢复得到32.1Hz正弦波。分别用无窗和单窗全相位滤波方法得到的结果和误差如图2-24所示（误差平均值分别为8.0441e-006、6.1618e-006）。