首页 理论教育DFT域无窗全相位数字滤波器优化方案

DFT域无窗全相位数字滤波器优化方案

2023-06-23 理论教育 版权反馈
【摘要】：即N阶频域全相位滤波器与2N-1阶加三角窗的FIR滤波器等效，此FIR滤波器的单位冲击响应是全相位滤波器特性H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓，第一等效图如图2-17所示。图2-17 N阶无窗全相位滤波器第一等效图以下MATLAB代码验证了图2-17与图2-15的DFT域全相位等效。

传统的N阶FIR滤波器某一时刻的输出由该时刻的输入以及它以前的N-1个输入所决定。设系统单位冲击响应为hn=[h（0）h（1）…h（N-1）]T，n时刻输入为xn=[x（n）x（n-1）…x（n-N+1）]T，n时刻的块输出中对应x（n）的输出等于xn与h的循环卷积中对应n时刻的输出，其频域表示如图2-14所示。X和H分别是输入和单位响应的N点离散傅里叶变换。非重叠的滤波输入分段进行，且y（n）只是对应输入x（n）频率为2π（N-1）/N的输出，因此无法求出系统的整体传输特性且输出段与段拼接处会出现不连续的边界效应。

978-7-111-48233-8-Chapter02-59.jpg

图2-14 非重叠频域滤波

全相位滤波器是一个N阶的重叠滤波器，n时刻的输出y（n）是N个相关输入xn+i（i=0，1，…，N-1）块分别对应x（n）的输出响应和的算术平均。设X=[xnxn+1…xn+N-1]是与输入x（n）相关的矩阵，Y=[yN-1（n）yN-2（n）…y0（n）]T是x（n）遍历角频率ω=2kπ/N（k=0，1，…，N-1）时N个输出。N阶傅里叶频域全相位如图2-15所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-60.jpg

图2-15 N阶频域无窗全相位滤波器（ap0）

N阶重叠滤波器在n时刻的输出y（n）是由x（n）以及它前后各N-1个输入决定的，数据关系可表示如下：

978-7-111-48233-8-Chapter02-61.jpg

设输入信号为频率从-π到π的余弦信号，每次取样256个点，32阶系统特性H=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1]。

MATLAB实现代码如下：

978-7-111-48233-8-Chapter02-62.jpg

978-7-111-48233-8-Chapter02-63.jpg

对不同频率的余弦信号经过全相位滤波器处理而产生的输出表明了系统的传统特性，上述算法运行结果如图2-16所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-64.jpg

图2-16 32阶无窗全相位滤波器特性

全相位系统对频率为0.9817rad/s左右信号进行了选择，通过H的设置可看出，上截止频率也正是2π/32×5≈0.9817rad/s，从而验证了设定为H的全相位系统具有低通特性。现定义抽取算子S=[s0s1…sN-1]T，其中si表示第i个元素为1其余元素为0的列向量。系统频域取样矩阵H=diag（H0H1…HN-1），则图2-15中重叠滤波器的输出为

978-7-111-48233-8-Chapter02-65.jpg

式中，WN是N阶傅里叶变换矩阵；WN*是WN的共扼。

将式（2-29）展开得

978-7-111-48233-8-Chapter02-66.jpg

式中，978-7-111-48233-8-Chapter02-67.jpg。注意到：

978-7-111-48233-8-Chapter02-68.jpg

将式（2-30）代入到式（2-29）（注意h（n）隐含具有周期N）得

978-7-111-48233-8-Chapter02-69.jpg

即N阶频域全相位滤波器与2N-1阶加三角窗的FIR滤波器等效，此FIR滤波器的单位冲击响应是全相位滤波器特性H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓，第一等效图如图2-17所示。它的物理意义是：信号输入序列X中与x（n）有关的N个块xn+i，依次作为冲击响应分别为将h循环右移i位的FIR滤波器的输入，相对应的N个输出之和。

978-7-111-48233-8-Chapter02-70.jpg

图2-17 N阶无窗全相位滤波器第一等效图（ap1）

以下MATLAB代码验证了图2-17与图2-15的DFT域全相位等效。输入信号由f1=16Hz和f2=32Hz的正弦波叠加而成，传输特性选择32阶非对称结构即H=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]。

978-7-111-48233-8-Chapter02-71.jpg

978-7-111-48233-8-Chapter02-72.jpg

978-7-111-48233-8-Chapter02-73.jpg

运行结果如图2-18所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-74.jpg

图2-18 ap0与ap1等效性验证

由图2-17可知，ap1结构中FIR滤波器单位冲击响应h=[h（1）h（2）…h（N-1）h（0）h（1）…h（N-2）h（N-1）]。利用h的周期性将ap1又可简化为如图2-19所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-75.jpg

图2-19 N阶无窗全相位滤波器第二等效图（ap2）

ap1共用到了延迟单元2N-2个，加法器2N-2个，乘法器4N-2个，但对比ap0省去了DFT/IDFT复数运算；ap2使用延迟单元2N-2个，加法器2N-2个，乘法器3N-1个，对比ap1节省乘法器N-1个。设H=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0]，实现ap2的MATLAB代码如下：

978-7-111-48233-8-Chapter02-76.jpg

运行结果如图2-20所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-77.jpg

图2-20 ap0与ap2等效性验证

由ap0的结构可知，在任意时刻n的输入x（n）都有对应的输出y（n），频率采样序列H具有类模拟系统传输特性。为充分发挥全相位数字滤波器在频域中的滤波作用，利用DFT可得到等效频域结构。令xwo=[xwo（n）xwo（n-1）…xwo（n-N+1）]T，则

xwo=O·C·xn （2-32）

式中，O和C分别称为重叠矩阵和卷积窗，它们有如下形式：

978-7-111-48233-8-Chapter02-78.jpg

无窗全相位数字滤波器的卷积窗元素为

978-7-111-48233-8-Chapter02-79.jpg

图2-19中的输出可表示如下：

978-7-111-48233-8-Chapter02-80.jpg

式（2-35）中，Xwo是向量xwo的离散傅里叶变换，Hr由下式定义：

978-7-111-48233-8-Chapter02-81.jpg

式（2-35）就是全相位数字滤波器的频域表达式，其系统结构如图2-21所示。

978-7-111-48233-8-Chapter02-82.jpg

图2-21 N阶无窗全相位滤波器第三等效图（ap3）

与图2-15相比，只经过一次DFT但要对输入信号做加权重叠处理。此结构频域滤波器可以通过调节H来有效地控制信号各个频率分量，全相位数字滤波器具有传统频率采样法设计的特征，对原信号加权和重叠处理又兼有窗函数设计法特点。实现ap3的MATLAB代码（设H=[1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0]）如下：

978-7-111-48233-8-Chapter02-83.jpg

有关全相位数字信号处理方法及MATLAB实现的文章

  • DFT域双窗全相位数字滤波器优化方法 DFT域双窗全相位数字滤波器优化方法

    为进一步改善系统性能，充分发挥窗函数在滤波器设计中的作用，综合上面两种情形得到在DFT前和IDFT后均加窗的全相位数字滤波器结构如图2-26所示。图2-28 加双窗对比单窗滤波结果对比上面介绍的3种带窗全相位数字滤波器具有完全相同的FIR滤波器等价结构，区别仅仅在于卷积窗的生成方法。为了便于讨论，将第1种类型称无窗全相位数字滤波器，第2种和第3种类型称单窗全相位数字滤波器，第4种类型称双窗全相位数字滤波器。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • DFT域单窗全相位数字滤波器优化设计 DFT域单窗全相位数字滤波器优化设计

    图2-22 加前单窗的全相位数字滤波器记前窗序列为F=[f（N-1）…因此，对比无窗全相位数字滤波器的唯一区别就是卷积窗的大小和形状。从图中可看出，单窗全相位数字滤波器极大地改善了通带及阻带内的波纹数量且降低了波纹幅度，最小旁瓣衰减也降低了6.8dB。图2-23 加前单窗对比无窗全相位数字滤波器特性在MATLAB代码中可以设置不同的窗函数来调整滤波器特性，设置不同的H来对信号进行滤波。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • 变换域全相位信号处理优化技巧 变换域全相位信号处理优化技巧

    图4-12 变换域信号处理图对于N阶系统，时刻n输入xn=[x，x（n-1），…其中X1是1维N阶全相位输入信号，即式就是全相位数字信号处理得到的输出与输入的数学关系表达。把式称为全相位变换，矩阵A称为全相位变换基，矩阵T则为全相位变换核。综合以上，变换域全相位数字信号处理一种可能实现如图4-16所示。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • DWT域全相位滤波器的优化 DWT域全相位滤波器的优化

    系统原理同图2-26所示，对应的输出为式中式中Tk的表达式与apDCT时相同。此外，apDWT具有与apDCT相同的传输特性函数形式，因此也具有严格零相位的特性。图4-11 基于apDWT子带分解信号图实际上，不论是何种正交变换，按照全相位信号处理方法得到的ap都可以对信号进行去除分段效应的滤波和处理，它是建立在新概念上的一种滤波系统。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • DCT域全相位滤波器的优化设计 DCT域全相位滤波器的优化设计

    国际标准建议CCITT H.261、JPEG、MPEG中都采用8×8的块做DCT，但基于DCT的数字滤波尚不普遍。为使DCT所具有的优良特性能在数字滤波中得到充分发挥，结合全相滤波的概念提出了DCT域ap系统设计。TN-2TN-1]，其传输特性为显然，apDCT具有严格零相位。实现无窗、单窗和双窗apDCT与传统滤波器特性的MATLAB代码如下：显然，apDCT具有严格零相位。利用apDCT的各子带滤波器对图像的一行进行子带滤波的结果如图4-8所示。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • 型号I全相位插值方案优化 型号I全相位插值方案优化

    由于不同的分段起点，可能存在N个不同的数据段都包含待插值的样点I，即将产生N个不同的插值结果，全相位插值就是取这N个插值的均值作为最终结果。正反变换定义如下：式中Walsh变换基只有±1离散值，傅里叶变换基有复数，因此选择DCT基作为插值的正交变换。图8-23 八点全相位DCT内插核时频图（N=5）对与上面实验中相同的Chirp信号进行插值重建，实验结果如图8-24所示。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • 全相位法优化截断误差的解决方案 全相位法优化截断误差的解决方案

    为降低或解决截断误差，国内外有些专家和学者提出了一些改善措施。设输入数据段长度为N1，系统响应长度为N2。全相位滤波法则是使用最大重叠的新方法，它考虑了对某个输入样本的所有长度为N的分段情况，如图1-7所示。图1-6 理想低通滤波器加矩形窗重叠法是由Malvar等人在DCT基础上提出的解决“方块效应”的方法。......

    2023-06-23

    详细阅读
  • 全相位数字滤波器的特性分析 全相位数字滤波器的特性分析

    全相位数字滤波器针对输入的信号进行了N-1/N最大程度重叠，每单位抽样时刻的输入都遍历单位圆上所有相位得到对应的输出，而使频率抽样序列H更准确地控制系统传输特性。图2-30 “全相”的含义由等效图2-29可知，单位冲击响应为准2倍周期延拓。加窗使全相位数字滤波器得到极大的改善，卷积窗的设计影响滤波器特性，对于线性相位要求窗必须满足一定的条件。以上这些特征使全相位数字滤波器具有很多重要性质。......

    2023-06-23

    详细阅读