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DFT域无窗全相位数字滤波器优化方案

2025-09-29 理论教育 版权反馈
【摘要】：即N阶频域全相位滤波器与2N-1阶加三角窗的FIR滤波器等效，此FIR滤波器的单位冲击响应是全相位滤波器特性H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓，第一等效图如图2-17所示。图2-17 N阶无窗全相位滤波器第一等效图以下MATLAB代码验证了图2-17与图2-15的DFT域全相位等效。

传统的N阶FIR滤波器某一时刻的输出由该时刻的输入以及它以前的N-1个输入所决定。设系统单位冲击响应为hn=[h（0）h（1）…h（N-1）]T，n时刻输入为xn=[x（n）x（n-1）…x（n-N+1）]T，n时刻的块输出中对应x（n）的输出等于xn与h的循环卷积中对应n时刻的输出，其频域表示如图2-14所示。X和H分别是输入和单位响应的N点离散傅里叶变换。非重叠的滤波输入分段进行，且y（n）只是对应输入x（n）频率为2π（N-1）/N的输出，因此无法求出系统的整体传输特性且输出段与段拼接处会出现不连续的边界效应。

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图2-14 非重叠频域滤波

全相位滤波器是一个N阶的重叠滤波器，n时刻的输出y（n）是N个相关输入xn+i（i=0，1，…，N-1）块分别对应x（n）的输出响应和的算术平均。设X=[xnxn+1…xn+N-1]是与输入x（n）相关的矩阵，Y=[yN-1（n）yN-2（n）…y0（n）]T是x（n）遍历角频率ω=2kπ/N（k=0，1，…，N-1）时N个输出。N阶傅里叶频域全相位如图2-15所示。

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图2-15 N阶频域无窗全相位滤波器（ap0）

N阶重叠滤波器在n时刻的输出y（n）是由x（n）以及它前后各N-1个输入决定的，数据关系可表示如下：

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设输入信号为频率从-π到π的余弦信号，每次取样256个点，32阶系统特性H=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1]。

MATLAB实现代码如下：

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对不同频率的余弦信号经过全相位滤波器处理而产生的输出表明了系统的传统特性，上述算法运行结果如图2-16所示。

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图2-16 32阶无窗全相位滤波器特性

全相位系统对频率为0.9817rad/s左右信号进行了选择，通过H的设置可看出，上截止频率也正是2π/32×5≈0.9817rad/s，从而验证了设定为H的全相位系统具有低通特性。现定义抽取算子S=[s0s1…sN-1]T，其中si表示第i个元素为1其余元素为0的列向量。系统频域取样矩阵H=diag（H0H1…HN-1），则图2-15中重叠滤波器的输出为

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式中，WN是N阶傅里叶变换矩阵；WN是WN的共扼。

将式（2-29）展开得

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式中，978-7-111-48233-8-Chapter02-67.jpg。注意到：

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将式（2-30）代入到式（2-29）（注意h（n）隐含具有周期N）得

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即N阶频域全相位滤波器与2N-1阶加三角窗的FIR滤波器等效，此FIR滤波器的单位冲击响应是全相位滤波器特性H的反离散傅里叶变换的两个周期延拓，第一等效图如图2-17所示。它的物理意义是：信号输入序列X中与x（n）有关的N个块xn+i，依次作为冲击响应分别为将h循环右移i位的FIR滤波器的输入，相对应的N个输出之和。

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图2-17 N阶无窗全相位滤波器第一等效图（ap1）

以下MATLAB代码验证了图2-17与图2-15的DFT域全相位等效。输入信号由f1=16Hz和f2=32Hz的正弦波叠加而成，传输特性选择32阶非对称结构即H=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]。

978-7-111-48233-8-Chapter02-71.jpg(https://www.chuimin.cn)

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运行结果如图2-18所示。

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图2-18 ap0与ap1等效性验证

由图2-17可知，ap1结构中FIR滤波器单位冲击响应h=[h（1）h（2）…h（N-1）h（0）h（1）…h（N-2）h（N-1）]。利用h的周期性将ap1又可简化为如图2-19所示。

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图2-19 N阶无窗全相位滤波器第二等效图（ap2）

ap1共用到了延迟单元2N-2个，加法器2N-2个，乘法器4N-2个，但对比ap0省去了DFT/IDFT复数运算；ap2使用延迟单元2N-2个，加法器2N-2个，乘法器3N-1个，对比ap1节省乘法器N-1个。设H=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0]，实现ap2的MATLAB代码如下：

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运行结果如图2-20所示。

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图2-20 ap0与ap2等效性验证

由ap0的结构可知，在任意时刻n的输入x（n）都有对应的输出y（n），频率采样序列H具有类模拟系统传输特性。为充分发挥全相位数字滤波器在频域中的滤波作用，利用DFT可得到等效频域结构。令xwo=[xwo（n）xwo（n-1）…xwo（n-N+1）]T，则

xwo=O·C·xn （2-32）

式中，O和C分别称为重叠矩阵和卷积窗，它们有如下形式：

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无窗全相位数字滤波器的卷积窗元素为

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图2-19中的输出可表示如下：

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式（2-35）中，Xwo是向量xwo的离散傅里叶变换，Hr由下式定义：

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式（2-35）就是全相位数字滤波器的频域表达式，其系统结构如图2-21所示。

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图2-21 N阶无窗全相位滤波器第三等效图（ap3）

与图2-15相比，只经过一次DFT但要对输入信号做加权重叠处理。此结构频域滤波器可以通过调节H来有效地控制信号各个频率分量，全相位数字滤波器具有传统频率采样法设计的特征，对原信号加权和重叠处理又兼有窗函数设计法特点。实现ap3的MATLAB代码（设H=[1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0]）如下：

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