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2025-09-29
全相位法优化截断误差的解决方案
【摘要】：为降低或解决截断误差，国内外有些专家和学者提出了一些改善措施。设输入数据段长度为N1，系统响应长度为N2。全相位滤波法则是使用最大重叠的新方法，它考虑了对某个输入样本的所有长度为N的分段情况，如图1-7所示。图1-6 理想低通滤波器加矩形窗重叠法是由Malvar等人在DCT基础上提出的解决“方块效应”的方法。
为降低或解决截断误差，国内外有些专家和学者提出了一些改善措施。对截断信号进行“加窗”是一种常用的方法。以FIR滤波器设计为例，有限长度低通滤波器等于理想低通滤波器与矩形窗的乘积，频域则为差值函数与矩形窗频谱的卷积。
由图1-6可以看出，调整窗口长度N可以有效地控制过渡带宽度，但是波动幅度没有得到改善。而选择不同形状的窗函数使其谱函数的主瓣包含更多的能量，相应旁瓣的幅度就会减少，而旁瓣的减少则可使通带、阻带波动减少，从而加大阻带衰减，但这是以增大过渡带为代价的。
图1-6 理想低通滤波器加矩形窗
重叠法是由Malvar等人在DCT基础上提出的解决“方块效应”的方法。普通的块变换在把输入信号分块后，块与块之间相互独立地进行变换运算，而且其变换矩阵是方阵，即输出数与输入数相等。而在重叠式变换中，信号在被分块之后，每块信号需要和相邻块的部分信号一起做变换运算，因此其变换矩阵的输出数M和输入数L一般不等，通常的取法是使L=2M，即进行50%重叠处理。对于大多数图像，双正交重叠变换的压缩效果甚至好于Daubechies9/7小波。用DFT计算线性卷积中的重叠保留法是重叠算法的另一个应用。它将相临数据段的数据重叠。设输入数据段长度为N1，系统响应长度为N2。每个相继的输入段都由N1-N2+1个新点与前一段保留下来的N2-1个点组成。在每次运算得到的N1+N2-1个点中只有后面N2个点的结果正确，而舍去结果的前N1-1点。数据块的任何重叠率都是可行的，而其中以50%的重叠效率最高。重叠算法另一个重要应用是图像的二维重叠滤波。用常规的滤波器对图像处理时，在块的边缘会出现方块锯齿效应，虽然可以通过加大计算矩阵来减小锯齿，但这样就加大了计算量，同时锯齿效应仍然存在。这是由于进行二维离散变换时所取的方块尺寸总是有限的，用许多有限方块分别做处理后拼成一个整幅图像总会有边缘效应。二维重叠滤波将传统方法重叠进行，在原来处理矩阵的基础上向左右或上下移动一位再分别滤波，最后的输出是这些重叠滤波的叠加。由于向不同方向移动后块的高频误差是相反的，因此重叠后斜线处的方块锯齿效应消失。
全相位滤波法则是使用最大重叠的新方法，它考虑了对某个输入样本的所有长度为N的分段情况，如图1-7所示。(https://www.chuimin.cn)
图1-7 全相位滤波的输入对应的所有输出
假定分段信号的长度为N，则其中任何一个输入点x（n）都可以出现在N个数据段中，x（n）在第k个数据段中的位置是k，因此，x（n）将遍历数据段中的所有时刻。第k段输入所对应x（n）的输出是x（n）在输入段中第k个位置时的结果，将每段N个输出结果中对应x（n）的输出算术平均作为系统输入为x（n）时的输出，这就是全相位滤波的基本思想。
显然，N阶全相位滤波中的输入段是采用（N-1）/N重叠的，即最大程度重叠。这样，对应数据的连续输入将产生连续的输出，且消除了常规方法中由于分段所产生的截断效应。它的另一个突出特点是便于对信号频率成分进行控制，对于满足一定条件的全相位滤波器，可实现完全线性相位，幅频特性则表现为通带和阻带波纹消失且衰减增大。这里所说的“全相”的概念是对时刻而言，因为滤波器的输入在遍历所有时刻后才得到相应的输出。
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2025-09-29
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