引入通用变量φ，将偏微分方程组式～为通用形式，并利用高斯定理在控制体积中离散，最终得到如下方程形式：式中：Гφ为通用扩散系数；Sφ表示源项。对时变项采用一阶差分格式离散，扩散通量采用超松弛校正方法计算，界面处梯度（▽φ）f由线性插值得到。于是单元面处通量可以表示为：式中：F f＝f；（φf）H为高阶部分，可以表示为：最终的方程离散形式如下：式中：；上标n为前一时间步长；下标P为当前控制体积。......
2023-06-26
方程的离散求解方法
【摘要】：图5-107控制体积法节点布局示意图5.5.3.2泥沙方程离散和求解悬移质输运方程离散和求解。悬沙输运方程和水流模型中的k、ε方程形式基本相同，只是在悬移质输运方程中多了一个下沉项，试算表明将下沉项作为源项比作为对流项更有利于求解的稳定。模型采用修正的QUICK 格式来离散悬沙输运方程的对流项，求解离散方程也采用ADI方法，相对于高阶格式所产生的离散方程的多余附加离散项采用显式离散，不存在求解困难。推移质输运方程的离散和求解。
5.5.3.1 水流方程求解
为了求解方便，将控制方程写成统一的输运方程形式:
其中方程源项Sφ包括对流源项Sφadv、扩散源项Sφdiff和其他源项Sφother，如压强梯度源项、科氏力源项及其物质的产生和降解源项等:
为利于模型稳定和收敛，系数SPφ≤0，根据模型控制方程不难写出Sφ，SCφ，SPφ的表达式(黄国鲜，2006)。采用控制体积法对式(5-106)在控制体积P (如图5-107)进行离散得到线性方程如下:
aE，aW，aN，aS，aT，aB为不同方向的邻节点变量对计算节点P 的影响系数，其取值与流速分布、网格尺寸和离散格式有关，b 为源项，
为前一步计算结果的影响系数。采用修正Quick格式(Hayase et al，1992)来离散对流项，其余各项采用中心差分离散。采用同位网格变量布设方式和动量插值算法来克服压力和流速场的失耦。使用Simple__C算法来求解压力修正值。采用交替隐式迭代法和强隐法相组合方式求解离散方程式(5-108)。具体计算方法和问题处理，请参照文献(黄国鲜，2006)。
图5-107 控制体积法节点布局示意图
5.5.3.2 泥沙方程离散和求解
(1)悬移质输运方程离散和求解。悬沙输运方程和水流模型中的k、ε方程形式基本相同，只是在悬移质输运方程中多了一个下沉项，试算表明将下沉项作为源项比作为对流项更有利于求解的稳定。模型采用修正的QUICK 格式来离散悬沙输运方程的对流项，求解离散方程也采用ADI方法，相对于高阶格式所产生的离散方程的多余附加离散项采用显式离散，不存在求解困难。
(2)推移质输运方程的离散和求解。对推移质输运方程，其对流项也采用修正QUICK 格式。均匀网格下修正QUICK 格式由一阶迎风项和曲率修正项组成，设变量φ代表节点上的推移质输沙率，则
其中，离散点的代表符号见图5-108。
图5-108 QUICK 离散辅助示意图
不均匀网格计算需对上述QUICK 计算公式进行修正，陶文铨 (2000)和杨茉等(1999)利用多项式插值公式来估算QUICK 曲率修正项，只考虑一个方向上的网格不均匀性，垂直方向网格不均匀分布的修正暂时不予考虑。
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