前文关于颗粒相脉动量本构关系的两种推导过程都表明，当液相紊动速度Ui与颗粒相脉动速度Vi不相关时，颗粒相的本构关系中不直接包含液相水流的贡献。在高浓度情形下，由于颗粒平均间距较小，粒间碰撞经常发生。Ding和Gidaspow 、Louge et al. 、Cao和Ahmadi、Aragon 、Jenkins和Hanes等快速颗粒流理论的应用中，其流动条件基本与上述分析结果相符。......
2023-06-22
颗粒相的本构特性
【摘要】：Derevich and Zaichik 给出的α和β 为:式中:α和β 是与反映颗粒惯性大小的Stokes数St有关的系数。
3.4.3.1 一般形式的本构关系
由式(3-153)，通过对速度空间的积分，可以建立颗粒相脉动速度二阶矩、三阶矩的本构关系:
将式(3-153)代入到碰撞应力、脉动能碰撞传导通量和脉动能碰撞耗散率的定义式(Brey et al.，1997)，保留到C、〈vi〉、T 等物理量的一阶梯度有:
将式(3-153)代入到碰撞应力、脉动能碰撞传导通量和脉动能碰撞耗散率的定义式(Brey et al.，1997)，保留到C、〈vi〉、T 等物理量的一阶梯度有:
结合上述脉动量和碰撞量，得到颗粒相完整的本构关系如下:
结合上述脉动量和碰撞量，得到颗粒相完整的本构关系如下:
上述本构关系式(3-159)和式(3-160)中都含有水流与颗粒之间的相间作用项，说明水流紊动对颗粒运动的影响不仅反映在动量方程和能量方程中，还反映在颗粒相的本构关系中。在通常的水沙两相流中，由于水沙密度相近，这些影响将非常重要。
3.4.3.2 典型的Aik和Bik的表达式
上述本构关系中的Aik和Bik为水流紊动应力的张量函数，可以用不同方法获得它们的表达式，如Reeks(1993)应用的LHDI(Lagrangian History Direct Interaction)方法，Zaichik等人 (1997)采用的Furutsu-Novikov 定理和泛函分析法等。徐一和周力行(2000)应用基于颗粒运动的Lagrange方程和流体运动的Langevin方程，结合随机过程分析和信号分析法，也获得代数形式的函数关系式。下面列出几个典型的Aik和Bik的表达式。
1.Derevich和Zaichik (1988)、徐一和周力行(2000)
上述本构关系式(3-159)和式(3-160)中都含有水流与颗粒之间的相间作用项，说明水流紊动对颗粒运动的影响不仅反映在动量方程和能量方程中，还反映在颗粒相的本构关系中。在通常的水沙两相流中，由于水沙密度相近，这些影响将非常重要。
3.4.3.2 典型的Aik和Bik的表达式
上述本构关系中的Aik和Bik为水流紊动应力的张量函数，可以用不同方法获得它们的表达式，如Reeks(1993)应用的LHDI(Lagrangian History Direct Interaction)方法，Zaichik等人 (1997)采用的Furutsu-Novikov 定理和泛函分析法等。徐一和周力行(2000)应用基于颗粒运动的Lagrange方程和流体运动的Langevin方程，结合随机过程分析和信号分析法，也获得代数形式的函数关系式。下面列出几个典型的Aik和Bik的表达式。
1.Derevich和Zaichik (1988)、徐一和周力行(2000)
式中:α和β 是与反映颗粒惯性大小的Stokes数St有关的系数。
Derevich and Zaichik (1988)给出的α和β 为:
式中:α和β 是与反映颗粒惯性大小的Stokes数St有关的系数。
Derevich and Zaichik (1988)给出的α和β 为:
徐一和周力行(2000)获得的α和β 为:
徐一和周力行(2000)获得的α和β 为:
2.Zaichik et al. (1997)
2.Zaichik et al. (1997)
式中:α和β 取值分别同式(3-169)和式(3-170)。
3.Derevich (2000)
式中:α和β 取值分别同式(3-169)和式(3-170)。
3.Derevich (2000)
式中:α和β 取值分别同式(3-169)和式(3-170)。pp和hp分别为:
式中:α和β 取值分别同式(3-169)和式(3-170)。pp和hp分别为:
4.Alipchenkov和Zaichik(2000)
4.Alipchenkov和Zaichik(2000)
式中:α和β 取值分别同式(3-171)和式(3-172)。
上述Aik和Bik的表达式在形式上繁简各异，但Aik中都含有ατp〈UiUk〉，Bik中都含有β〈UiUk〉，不同之处在于所含有的速度梯度项或者水流紊动应力梯度项。随着颗粒质量和水流条件的变化，颗粒Stokes数St发生变化，Aik和Bik中的系数的取值也随之改变，从而描述了该水沙条件下的水流与颗粒的相间作用。通过考察极限条件下的颗粒相应力关系，可以分析不同Aik和Bik表达式的合理性 (傅旭东和王光谦，2003a)。下面的分析中，α和β 以式(3-169)和式(3-170)为例，按照式 (3-171)和式 (3-172)分析所得结论相同。
1.颗粒惯性很大(τp≫TLp)，St=τp/TLp→∞
在该极限条件下，式(3-169)和式(3-170)给出:
式中:α和β 取值分别同式(3-171)和式(3-172)。
上述Aik和Bik的表达式在形式上繁简各异，但Aik中都含有ατp〈UiUk〉，Bik中都含有β〈UiUk〉，不同之处在于所含有的速度梯度项或者水流紊动应力梯度项。随着颗粒质量和水流条件的变化，颗粒Stokes数St发生变化，Aik和Bik中的系数的取值也随之改变，从而描述了该水沙条件下的水流与颗粒的相间作用。通过考察极限条件下的颗粒相应力关系，可以分析不同Aik和Bik表达式的合理性 (傅旭东和王光谦，2003a)。下面的分析中，α和β 以式(3-169)和式(3-170)为例，按照式 (3-171)和式 (3-172)分析所得结论相同。
1.颗粒惯性很大(τp≫TLp)，St=τp/TLp→∞
在该极限条件下，式(3-169)和式(3-170)给出:
相应地有:
相应地有:
可见，上述Aik和Bik表达式虽然形式不同，但都有Aik→0和Bik→0，即都表明水流紊动对颗粒运动几乎没有影响。显然，几家Aik和Bik表达式在该极限条件下是合理的。
2.颗粒惯性很小(τp≪TLp)，St=τp/TLp→0
在该极限条件下，式(3-169)和式(3-170)给出:
可见，上述Aik和Bik表达式虽然形式不同，但都有Aik→0和Bik→0，即都表明水流紊动对颗粒运动几乎没有影响。显然，几家Aik和Bik表达式在该极限条件下是合理的。
2.颗粒惯性很小(τp≪TLp)，St=τp/TLp→0
在该极限条件下，式(3-169)和式(3-170)给出:
相应地有:
相应地有:
可见，在τp≪TLp时，除了式 (3-168)以外，其他三个Bik表达式都正确地趋近于〈UiUk〉，而式(3-168)仅在无流场速度梯度时才趋近于〈UiUk〉。在Aik的表达式上，式(3-175)和式(3-179)结构相同，只是在速度梯度项上相差2倍;另外两个Aik的表达式都趋于TLp〈UiUk〉，没有反映速度梯度项的影响。
由上述分析可见，在颗粒惯性的两个极限情形下，公式具有合理结构、且形式简单的模型是Zaichik et al. (1997)的模型，即式(3-173)和式 (3-174)，其他模型或者形式复杂、或者结构存在一定的问题。
可见，在τp≪TLp时，除了式 (3-168)以外，其他三个Bik表达式都正确地趋近于〈UiUk〉，而式(3-168)仅在无流场速度梯度时才趋近于〈UiUk〉。在Aik的表达式上，式(3-175)和式(3-179)结构相同，只是在速度梯度项上相差2倍;另外两个Aik的表达式都趋于TLp〈UiUk〉，没有反映速度梯度项的影响。
由上述分析可见，在颗粒惯性的两个极限情形下，公式具有合理结构、且形式简单的模型是Zaichik et al. (1997)的模型，即式(3-173)和式 (3-174)，其他模型或者形式复杂、或者结构存在一定的问题。
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