基于颗粒运动的Lagrange动力学方程式

3.4.1.1　颗粒概率密度分布函数(PDF) 的输运方程

在动理学模型中，颗粒相的运动行为由颗粒概率密度分布函数(PDF)所服从的动理学方程(Kinetic equation)来描述。通过对动理学方程取不同阶的脉动速度矩，可以建立颗粒相质量、动量、脉动能、二阶矩和高阶矩的守恒方程。相应的封闭关系是通过PDF对速度空间积分获得。在此意义上，前文叙述的Boltzmann方程是一种动理学方程。为了更好地反映液相紊动对颗粒相运动的影响，下面从单颗粒运动的Lagrange方程出发，建立颗粒运动的动理学方程。

在高含沙水流中，单个泥沙颗粒运动的Lagrange方程可写为:

式中:fL和〈fL〉分别为颗粒的瞬时PDF和系综平均的PDF;〈·〉表示对所有可能存在的紊流状况进行系综平均;δ(·)为Dirac的δ函数。

系综平均的颗粒体积比浓度C 和速度〈vi〉通过对速度空间的积分获得:

式中:Rpi为颗粒所在空间位置矢量;vpi为颗粒速度;ui为该位置处的水流速度;Fi为重力和阻力以外相间作用力之和;wi为布朗运动作用力;Wi为颗粒间碰撞作用力;t为时间;τp为颗粒驰豫时间，定义如式(3-113)所示，其中(Ma和Ahmadi，1990):

为将上述Lagrange方程转换为Euler形式的方程，需要在空间位置坐标xi和速度坐标vi组合成的相空间(xi，vi)内定义颗粒的瞬时PDF 和系综平均的PDF (Derevich和Zaichik，1988;Zaichik et al.，1997，2004):

式中:fL和〈fL〉分别为颗粒的瞬时PDF和系综平均的PDF;〈·〉表示对所有可能存在的紊流状况进行系综平均;δ(·)为Dirac的δ函数。

系综平均的颗粒体积比浓度C 和速度〈vi〉通过对速度空间的积分获得:

与前文Boltzmann方程中所定义的颗粒速度分布函数f 略有不同，这里式(3-123)的积分结果是颗粒体积比浓度C，前文式(3-3)的积分结果是颗粒数密度n。

对方程式(3-122)关于时间t微分，则有:

与前文Boltzmann方程中所定义的颗粒速度分布函数f 略有不同，这里式(3-123)的积分结果是颗粒体积比浓度C，前文式(3-3)的积分结果是颗粒数密度n。

对方程式(3-122)关于时间t微分，则有:

其中，上述方程的右边第一项:

其中，上述方程的右边第一项:

上述方程的推导中应用了δ函数的性质(步骤1→2，3→4)、空间位置和速度坐标的独立性(步骤2→3)和颗粒运动的Lagrange方程(步骤2→3)。类似地，方程右边第二项:

上述方程的推导中应用了δ函数的性质(步骤1→2，3→4)、空间位置和速度坐标的独立性(步骤2→3)和颗粒运动的Lagrange方程(步骤2→3)。类似地，方程右边第二项:

上述方程的推导中除了应用了δ函数的性质、空间位置和速度坐标的独立性、颗粒运动的Lagrange方程以外，还分别将液相水流和泥沙颗粒相的瞬时速度分解为系综平均速度和脉动速度。将式(3-126)和式(3-127)代入式(3-125)，得到PDF的输运方程:

上述方程的推导中除了应用了δ函数的性质、空间位置和速度坐标的独立性、颗粒运动的Lagrange方程以外，还分别将液相水流和泥沙颗粒相的瞬时速度分解为系综平均速度和脉动速度。将式(3-126)和式(3-127)代入式(3-125)，得到PDF的输运方程:

方程(3-128)的速度坐标是vi，将其转换到脉动速度坐标Vi，则有PDF 的输运方程:

方程(3-128)的速度坐标是vi，将其转换到脉动速度坐标Vi，则有PDF 的输运方程:

上述PDF输运方程的左边是描述PDF在位置坐标和速度坐标构成的相空间内的时间演化和对流输运，方程的右边则是颗粒与水流紊动涡的作用、颗粒的布朗运动和颗粒之间的碰撞效应。将上述两种速度坐标下的PDF输运方程分别与前文Boltzmann方程式 (3-1)和式(3-2)进行比较，可以发现，若将Boltzmann方程中的外力也分解为平均作用力和与脉动速度相关的作用力，并将脉动速度相关作用力项移到方程右边，则与此处的PDF输运方程形式完全相同。只是在上述PDF输运方程中，液相水流的速度脉动、颗粒相的速度脉动、布朗作用力等导致的PDF 对流扩散与粒间碰撞的作用一样，被明确地表示出来。因而，也方便了对PDF方程进行封闭和求解。

3.4.1.2　PDF输运方程的封闭

以颗粒相脉动速度坐标下的PDF输运方程式 (3-129)为例，探讨该方程的封闭过程。在该方程中，需要建立模型的分别是〈fLUi〉、〈fLwi〉和〈fLWi〉，它们依次对应着液相水流的紊动作用、颗粒的布朗运动和粒间碰撞效应。

1.液相水流紊动作用项的模化

建立〈fLUi〉的模型有不同的方法。Boelle et al. (1995)建立了〈fLUi〉的输运方程，通过方程的求解来获得〈fLUi〉的值。Reeks(1993)和Zaichik et al. (1997)等采用了显式的Fokker-Planck扩散模型。比较之下，扩散模型相对简单，亦能够反映流场非均匀性的影响，使用较为方便。在扩散模型的建立中，Furutsu-Novikov (Furutsu，1993;Derevich，2000)方程较为常用:

上述PDF输运方程的左边是描述PDF在位置坐标和速度坐标构成的相空间内的时间演化和对流输运，方程的右边则是颗粒与水流紊动涡的作用、颗粒的布朗运动和颗粒之间的碰撞效应。将上述两种速度坐标下的PDF输运方程分别与前文Boltzmann方程式 (3-1)和式(3-2)进行比较，可以发现，若将Boltzmann方程中的外力也分解为平均作用力和与脉动速度相关的作用力，并将脉动速度相关作用力项移到方程右边，则与此处的PDF输运方程形式完全相同。只是在上述PDF输运方程中，液相水流的速度脉动、颗粒相的速度脉动、布朗作用力等导致的PDF 对流扩散与粒间碰撞的作用一样，被明确地表示出来。因而，也方便了对PDF方程进行封闭和求解。

3.4.1.2　PDF输运方程的封闭

以颗粒相脉动速度坐标下的PDF输运方程式 (3-129)为例，探讨该方程的封闭过程。在该方程中，需要建立模型的分别是〈fLUi〉、〈fLwi〉和〈fLWi〉，它们依次对应着液相水流的紊动作用、颗粒的布朗运动和粒间碰撞效应。

1.液相水流紊动作用项的模化

建立〈fLUi〉的模型有不同的方法。Boelle et al. (1995)建立了〈fLUi〉的输运方程，通过方程的求解来获得〈fLUi〉的值。Reeks(1993)和Zaichik et al. (1997)等采用了显式的Fokker-Planck扩散模型。比较之下，扩散模型相对简单，亦能够反映流场非均匀性的影响，使用较为方便。在扩散模型的建立中，Furutsu-Novikov (Furutsu，1993;Derevich，2000)方程较为常用:

式中:Z →x( ) 为服从正态分布的随机过程;R Z( ) 为Z 的泛函;δR/δZ 是泛函的变分导数。

对于〈fLUi〉，按照式(3-130)，可以写出:

式中:Z →x( ) 为服从正态分布的随机过程;R Z( ) 为Z 的泛函;δR/δZ 是泛函的变分导数。

对于〈fLUi〉，按照式(3-130)，可以写出:

引入水流脉动速度的二阶相关函数:

引入水流脉动速度的二阶相关函数:

式中:方程左边为沿颗粒轨道上的水流脉动速度自相关;RLp为沿颗粒轨道的水流紊动速度的自相关函数，为沿颗粒轨道的水流紊动拉格朗日积分时间尺度TLp的函数。

式中:方程左边为沿颗粒轨道上的水流脉动速度自相关;RLp为沿颗粒轨道的水流紊动速度的自相关函数，为沿颗粒轨道的水流紊动拉格朗日积分时间尺度TLp的函数。

由式(3-131)～式 (3-133)，并用Lagrange运动方程式 (3-118)和式 (3-119)确定式(3-132)中的泛函变分，可以建立反映流场平均速度梯度影响的一般形式的〈fLUi〉扩散模型:

由式(3-131)～式 (3-133)，并用Lagrange运动方程式 (3-118)和式 (3-119)确定式(3-132)中的泛函变分，可以建立反映流场平均速度梯度影响的一般形式的〈fLUi〉扩散模型:

式中:Aik和Bik为水流紊动应力的张量函数，取决于式 (3-132)中泛函变分的具体表达式。

将速度坐标转换为脉动速度坐标，则有(傅旭东和王光谦，2003a):

式中:Aik和Bik为水流紊动应力的张量函数，取决于式 (3-132)中泛函变分的具体表达式。

将速度坐标转换为脉动速度坐标，则有(傅旭东和王光谦，2003a):

2.布朗运动作用的模化

假定wi为关于时间δ 相关的随机过程，对应着泥沙颗粒的布朗运动。该随机过程满足:

2.布朗运动作用的模化

假定wi为关于时间δ 相关的随机过程，对应着泥沙颗粒的布朗运动。该随机过程满足:

式中:DB为颗粒布朗运动扩散系数;δij为二阶单位张量，方程左边表示颗粒运动轨道上的相关函数。

与上述模化液相水流紊动作用项的过程相类似，由式 (3-130)也可得到 (Derevich和Zaichik，1988;傅旭东和王光谦，2003b):

式中:DB为颗粒布朗运动扩散系数;δij为二阶单位张量，方程左边表示颗粒运动轨道上的相关函数。

与上述模化液相水流紊动作用项的过程相类似，由式 (3-130)也可得到 (Derevich和Zaichik，1988;傅旭东和王光谦，2003b):

3.碰撞作用的模化

在水沙两相流动中，〈fLWi〉反映了粒间碰撞作用对颗粒概率密度分布函数的影响。由于Wi是离散的随机过程，碰撞颗粒间的位置与速度并非完全无关。很多研究人员(Boelle et al.，1995;Zaichik et al.，1997)采用了如式(3-82)～式(3-84)所示的Boltzmann碰撞算子。这种碰撞算子采用了分子混沌假设，认为碰撞颗粒在碰撞之前相互独立，并且仅适用于近乎弹性的颗粒碰撞。显然，这种碰撞算子没有考虑碰撞颗粒之间的位置、速度的相关性。

为了突破Boltzmann碰撞算子仅适用于近乎弹性颗粒碰撞的限制，RET 理论 (Revised Enskog Theory)获得了迅速发展。该理论为分析不同浓度和耗散水平的颗粒碰撞系统提供了理论基础(Brey et al.，1997)。

而且，两个碰撞颗粒之间的水动力学作用也会影响碰撞过程的统计特征。为了简化分析，并保留RET 理论的本质不变，采用修正的BGK 算子来分析高浓度水沙两相流中的颗粒碰撞过程:

3.碰撞作用的模化

在水沙两相流动中，〈fLWi〉反映了粒间碰撞作用对颗粒概率密度分布函数的影响。由于Wi是离散的随机过程，碰撞颗粒间的位置与速度并非完全无关。很多研究人员(Boelle et al.，1995;Zaichik et al.，1997)采用了如式(3-82)～式(3-84)所示的Boltzmann碰撞算子。这种碰撞算子采用了分子混沌假设，认为碰撞颗粒在碰撞之前相互独立，并且仅适用于近乎弹性的颗粒碰撞。显然，这种碰撞算子没有考虑碰撞颗粒之间的位置、速度的相关性。

为了突破Boltzmann碰撞算子仅适用于近乎弹性颗粒碰撞的限制，RET 理论 (Revised Enskog Theory)获得了迅速发展。该理论为分析不同浓度和耗散水平的颗粒碰撞系统提供了理论基础(Brey et al.，1997)。

而且，两个碰撞颗粒之间的水动力学作用也会影响碰撞过程的统计特征。为了简化分析，并保留RET 理论的本质不变，采用修正的BGK 算子来分析高浓度水沙两相流中的颗粒碰撞过程:

上述方程采用了Brey et al. (1997)相同形式的用于高浓度快速颗粒流的碰撞模型。与他们的模型不同的是，碰撞频率考虑水流紊动效应和颗粒群效应，即:

上述方程采用了Brey et al. (1997)相同形式的用于高浓度快速颗粒流的碰撞模型。与他们的模型不同的是，碰撞频率考虑水流紊动效应和颗粒群效应，即:

4.封闭的颗粒相动理学方程

将式(3-135)、式(3-137)和式(3-138)代入到PDF的输运方程式 (3-129)，就获得了封闭的PDF的输运方程或称作颗粒相的动理学方程:

4.封闭的颗粒相动理学方程

将式(3-135)、式(3-137)和式(3-138)代入到PDF的输运方程式 (3-129)，就获得了封闭的PDF的输运方程或称作颗粒相的动理学方程:

3.4.1.3　PDF输运方程的速度矩方程

若φ 仅为颗粒相脉动速度的函数，以φ 乘以动理学方程两边，得到φ 的输运方程:

3.4.1.3　PDF输运方程的速度矩方程

若φ 仅为颗粒相脉动速度的函数，以φ 乘以动理学方程两边，得到φ 的输运方程:

式中:含fm的积分项与φ 的具体函数表达式有关，不能直接给出积分结果;在φ 为1，Vj，VjVm和VjVmVn时，式(3-141)分别给出颗粒相的连续方程、动量方程、二阶矩方程和三阶矩方程，且含fm的积分项都具有显式的积分结果。下面写出连续方程、动量方程和脉动能方程:

式中:含fm的积分项与φ 的具体函数表达式有关，不能直接给出积分结果;在φ 为1，Vj，VjVm和VjVmVn时，式(3-141)分别给出颗粒相的连续方程、动量方程、二阶矩方程和三阶矩方程，且含fm的积分项都具有显式的积分结果。下面写出连续方程、动量方程和脉动能方程:

在动量方程式(3-143)中，右一项为颗粒相所受平均外力，右二项为应力梯度，最后一项反映了颗粒扩散引起的动量传递。在能量方程式(3-144)中，右一项为颗粒相应力的剪切做功(生成项)，右二项为扩散项，右三项为水沙相互作用和颗粒布朗运动所引起的相间传递，右四项为碰撞引起的能量耗散。与前文的基于Boltzmann方程的守恒方程式(3-8)和式(3-9)比较，上述守恒方程以显式的形式给出了颗粒扩散引起的动量传递和水沙相间的能量传递，这也是基于颗粒运动Lagrange方程的动理学方法的一个优点。

在动量方程式(3-143)中，右一项为颗粒相所受平均外力，右二项为应力梯度，最后一项反映了颗粒扩散引起的动量传递。在能量方程式(3-144)中，右一项为颗粒相应力的剪切做功(生成项)，右二项为扩散项，右三项为水沙相互作用和颗粒布朗运动所引起的相间传递，右四项为碰撞引起的能量耗散。与前文的基于Boltzmann方程的守恒方程式(3-8)和式(3-9)比较，上述守恒方程以显式的形式给出了颗粒扩散引起的动量传递和水沙相间的能量传递，这也是基于颗粒运动Lagrange方程的动理学方法的一个优点。