表1-1实测卵石推移质基础资料表1-2为实测的河床质级配，表1-3～表1-5为各测站的水力要素和卵石推移质输沙率按流量分级统计后的资料。图1-4实测推移质输沙率的验证图1-4的对比分析表明，采用修正的Einstein 公式能较好地描述山区河流卵石推移质的运动规律。......
2023-06-22
推导推移质公式
【摘要】：推移质公式推求当运动泥沙与床面泥沙的交换达到平衡，即单位时间内自单位床面上冲刷外移的泥沙数量正好与沉积下来的泥沙数量保持相等时的输沙率。Einstein 经过推导得出在单位面积上将有重量为的泥沙被冲刷外移，其中A1、A2为与泥沙颗粒形状有关的系数。图1-2修正的Einstein公式与实测资料的对比图1-2修正的Einstein公式与实测资料的对比
推移质公式推求当运动泥沙与床面泥沙的交换达到平衡，即单位时间内自单位床面上冲刷外移的泥沙数量正好与沉积下来的泥沙数量保持相等时的输沙率。
1.1.2.1 泥沙的沉积率
Einstein (1950)假定在一定的水流条件下，河床表面比例为P 的部分面积上的水流上举力大于泥沙颗粒的水下重量，有1-P 的面积上的上举力小于泥沙的水下重量。经过推导后得出，如泥沙颗粒的单步距离为L，则泥沙的平均运动距离L0为:
颗粒的重力(γs-γ)D 3越大，跃起后落回床面越快，其单步距离越短;水流作用力λ2ρD 2u 2*越大，颗粒跳起后运动的单步距离越长。可以假定颗粒运动的单步距离与水流作用力成正比而与颗粒的水下重力成反比:
若推移质泥沙的单宽输沙率为gb，则在单位时间内通过所研究断面的泥沙都将在长度为L0的范围内沉积下来，这样，单位面积上泥沙的沉积率gd为:
1.1.2.2 泥沙的冲刷率
泥沙颗粒自床面冲刷外移的条件取决于有多少这样的泥沙暴露在水流下面，以及使泥沙举离床面的上举力大于沙粒水下重量的或然率有多大。Einstein 经过推导得出在单位面积上将有重量为
的泥沙被冲刷外移，其中A1、A2为与泥沙颗粒形状有关的系数。
图1-1 沙粒在床面的位置
已知冲刷外移的沙量，需要进一步求出这些泥沙被冲起的时间。Einstein 取t=A3D/ω。但一般认为，颗粒被举离床面的时间应该与水流条件有关。假定颗粒位于床面的位置如图1-1所示。
当水流的上举力FL大于颗粒的水下重量时，颗粒被向上抬升，当抬升的高度到达A′3D，颗粒就会在拖曳力FD的作用下开始运动。根据胡春宏(Hu和Hui，1996)的研究，颗粒从床面被举离的速度与u*成正比，则颗粒被举离床面的时间可表示为:
最后得出单位面积上泥沙的冲刷率:
1.1.2.3 输沙平衡条件
当推移质运动达到平衡时，自河床冲起的泥沙和推移质中落淤的泥沙应相等，由式(1-4)和式(1-6)可得:
为输沙强度参数，则:
或:
1.1.2.4 水流条件与泥沙运动概率的关系
泥沙的水下重量为:水流作用在颗粒上的上举力为:
Einstein和El-Samni(1949)从试验结果得出，若取距理论床面0.35D 处的流速作为上式中的有效流速，则CL=0.178，上举力的脉动遵循正态分布:
式中:η为随时间而变化的上举力脉动值，如用上举力脉动的标准差η0来衡量上举力的大小，即令η=η0η*，其中η*为无量纲的上举力脉动值，再令:
或然率P 代表W′/FL小于1的机遇:
若考虑水流上举力的值大于颗粒的水下重量时泥沙开始运动，即:
临界状态时，得出泥沙开始运动的水流条件下限值:
式中B*=B′/η0，运动泥沙的概率:
由式(1-11)得:
根据实测资料得出B*=0.07，1/η0=2，A*=16，则:
式(1-21)与实测资料的对比见图1-2。图中同时画出了Einstein公式和Meyer Peter公式(1948)，可以看出修正的Einstein公式与实测资料一致，特别是高强度输沙时与实测资料符合良好。
图1-2 修正的Einstein公式与实测资料的对比
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