平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥线相对位置不同，圆锥面上产生五种不同形状的截交线。椭圆的长轴位于截平面内过椭圆中心的正平线上，其两端为Ⅰ及Ⅱ点。图4-8圆锥面上各种位置交线形状及投影图求作正垂面P与正圆锥的截交线，如图4-9所示。椭圆的正面投影与PV重影，其水平投影及侧面投影是椭圆 。按1—3—5—7—2—8—6—4—1的顺序将所求各点的水平投影及侧面投影圆滑连接成椭圆。......
2023-06-22
截平面与圆柱的交点分析
【摘要】：平面截切圆柱时，由于截平面与圆柱的轴线相对位置不同，其截交线有三种不同的形状，如图4-4所示。当截平面倾斜于圆柱轴线时，它与圆柱面的截交线为一椭圆，如图4-4 所示。图4-4截平面与圆柱相交求正圆柱与正垂面P的截交线，如图4-5所示。且椭圆的正面投影积聚在截平面的正面迹线上；圆柱的水平投影有积聚性，故截交线的水平投影也为已知。
平面截切圆柱时，由于截平面与圆柱的轴线相对位置不同，其截交线有三种不同的形状，如图4-4所示。
（1）当截平面平行于圆柱轴线时，它与圆柱面的截交线为两条素线，如图4-4 （a）所示。
图4-3 用素线法和纬圆法求截交线上共有点
（2）当截平面垂直于圆柱轴线时，它与圆柱面的截交线为一纬圆，如图4-4 （b）所示。
（3）当截平面倾斜于圆柱轴线时，它与圆柱面的截交线为一椭圆（短轴垂直于圆柱轴线，其长度等于圆柱直径；长轴倾斜于圆柱轴线，其长度随截平面对圆柱轴线的倾斜程度而变化），如图4-4 （c）所示。
图4-4 截平面与圆柱相交
【例4-2】 求正圆柱与正垂面P的截交线，如图4-5所示。
解：由于正垂面P倾斜于圆柱轴线，故截交线为椭圆。且椭圆的正面投影积聚在截平面的正面迹线上（圆柱正面投影轮廓间的一段斜线）；圆柱的水平投影有积聚性，故截交线的水平投影也为已知（重影于圆柱的水平投影——圆）。因此，根据截交线的二已知投影便可求出截交线上若干点的侧面投影，从而完成截交线的作图。
作图步骤：
（1）求特殊点。截交线上的特殊点一般是指：①曲面投影轮廓线上的点（很多情况下它们也是截交线各投影的可见性分界点）；②能够确定截交线投影范围的边界点，如截交线上的最高点与最低点，最前点与最后点，最左点与最右点等；③能够确定截交线投影几何形状的一些点（如椭圆的长、短轴的端点）。本例中轮廓线上的点 （1、2、3、4）可根据它们的正面投影作出其侧面投影1″、2″、3″、4″，其中1点和2点便是截交线上的最高点和最低点，如图4-6所示。
图4-5 正垂面与圆柱的截交
图4-6 求特殊位置点的截交线
根据对椭圆长、短轴的分析可知，垂直于正投影面的椭圆直径3、4等于该圆柱的直径，故3、4应是短轴；而与其垂直的直径1、2则是椭圆的长轴，该长轴恰好处在截平面内对水平面的最大斜度线的位置。根据直角投影特性，这一对长、短轴的侧面投影1″2″和3″4″仍应相互垂直。
（2）求一般点。在水平投影中在特殊点之间取四个对称位置的中间点5、6、7、8，先求它们的正面投影，然后再求出其侧面投影，如图4-7所示。
（3）连线并判别可见性。圆滑连接侧面投影中所求各点 （连接时注意椭圆曲线的对称性），其中3″、7″、1″、8″、4″段位于圆柱右半部，侧面投影为不可见，画成虚线。
图4-7 求一般点的截交线
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