正交变换实现数据压缩的关键技术——变换编码

2023-06-21 理论教育版权反馈

【摘要】：变换编码中的关键技术在于正交变换，与预测编码一样，它是通过消除信源序列中的相关性来实现数据压缩的。变换编码与预测编码之间的区别在于，预测编码是在空间域内进行的，而变换编码则是在变换域内进行的。因此，变换编码的关键就在于：在已知信源的情况下，根据它的协方差矩阵去寻找一种正交变换，使变换后的协方差矩阵满足或近似为一对角矩阵。

变换编码中的关键技术在于正交变换，与预测编码一样，它是通过消除信源序列中的相关性来实现数据压缩的。变换编码与预测编码之间的区别在于，预测编码是在空间域（或时间域）内进行的，而变换编码则是在变换域（或频率域）内进行的。变换编码不是直接对空间域的图像信号进行编码，而是首先将空间域图像信号映射变换到另一个正交矢量空间（变换域或频率域），产生一系列变换系数，然后对这些变换系数进行编码处理。尽管正交变换本身不能对数据进行压缩，但由于变换后系数之间的相关性明显降低，图像的大部分能量只集中到少数几个变换系数上，采用适当的量化和熵编码可以有效地压缩图像的数据量。而且图像经某些变换后，变换系数的空间分布和频率特性能与人眼的视觉特性匹配，因此可以利用人的视觉系统和生理、心理特点来得到较好的压缩效果。

图像信号是随机变量，随机变量之间的相关程度可以用协方差表示，多个随机变量之间的协方差可以用矩阵形式描述，称为协方差矩阵。图像信号在空间域的协方差矩阵表示像素间的相关情况，而变换域的协方差矩阵则表示变换系数间的相关情况，反映经过正交变换后图像解除或削弱的相关性情况。当协方差矩阵中除对角线上元素之外的各个元素都为零时，就相当于无相关性。因此，变换编码的关键就在于：在已知信源的情况下，根据它的协方差矩阵去寻找一种正交变换，使变换后的协方差矩阵满足或近似为一对角矩阵。

如果经过正交变换后的协方差矩阵为一对角矩阵，且具有最小均方误差时，该变换就是最佳变换。Karhunen-Loeve（简称K-L）变换就是均方误差准则下的最佳变换。根据推导可知，K-L变换的变换矩阵由信源协方差矩阵的特征矢量构成。因此，这种变换矩阵不是一种恒定的形式，必须由信源特性来确定。在进行K-L变换前，必须先求出信源的协方差矩阵，然后求出其特征值和特征向量，得到变换矩阵，再进行正交变换，其计算量非常大。由于K-L变换没有快速算法，巨大的计算量使其应用受到很大的限制。而离散余弦变换（DCT）具有和K-L变换相近的性能，经离散余弦变换后的协方差矩阵接近对角矩阵，因此是准最佳变换。另外，DCT可以用固定的变换矩阵进行正交变换，且可用快速算法，从实用的角度来说，简便、易于实现，所以，在近年来的图像数据压缩中得到广泛的应用。

对变换后的图像系数的编码，一般采用门限编码加区域编码的形式，以DCT为例，根据变换系数的能量分布，可以将图像划分为不同的区域，其中变换后幅度值较大的图像系数大多集中于图像块的左上角。与其他系数相比，这些低频系数具有的能量最大，包括了图像的大部分内容，在变换图像中的地位最重要，应该使它们的量化误差最小。同样，对于图像块的其他区域，也应采用与该区域相匹配的量化和编码形式。这种按能量分布对不同区域采用不同量化编码的方法称为区域编码。另一个方面，变换图像中有许多系数的幅度很小，只具有原图像中很小比例的能量，对图像质量影响很小，因此一般采用设定阈值的方法，将小于阈值的变换系数置为零，从而大大提高了编码效率。经门限编码和区域编码后，变换图像的大部分系数为零。为了增加零系数的个数，使得最大的连零串出现概率较大，对已量化的系数进行排序就显得尤为重要。通常对量化后的系数进行Z字形（Zig-Zag）排序可以解决这一问题。

图像变换一般采用分块变换技术，图像块大，相关性就高，压缩比也就大，但是块的尺寸太大又会丢失数据的平稳性，从而引入误差，这些误差包括失去高频细节、引入沿物体边界的噪声和可见的DCT块边界效应（俗称方块效应或马赛克效应）。实验证明，块大小为16×16或8×8的像素块是比较好的选择。但如果为了提高压缩比，而增大量化系数时，还是会出现块边界效应。

实际的变换编码系统可分为以下4个步骤：第一步选择变换类型，DCT是应用最广泛的一种类型；第二步是选择块的大小，较好的方块尺寸是8×8像素块或16×16像素块；第三步是选择量化步长，对其进行高效量化，以便传输或存储；第四步是对量化后的系数进行比特分配，通常使用游程长度编码和算术编码。

正交变换实现数据压缩的关键技术——变换编码

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