优化目标最优化算法之目估适线法

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：图X3.11频率计算适线法框图统计参数的初适值，可用矩法公式计算、Cv，并假定Cs/Cv比值，也可采用三点法、概率权重矩法和双权函数法等。图X3.11频率计算适线法框图调整参数。试用适线法推求该站年降水量的频率曲线，并确定相应于频率为10%、50%、90%的年降水量。图X3.13某站年降水量频率曲线类似地，计算F列的模比系数以及G列ki-1和H列2数据，并对各列求和，其中F列的模比系数的总和应等于n，G列的总和应等于0，据此可进行校核。

目估适线法的要点是：拟定理论频率曲线的线型，以样本经验点为依据，调试理论频率曲线的参数，用目估的方法使理论频率曲线与经验点配合良好。具体步骤如图X3.11所示。进一步说明以下几点。

（1）频率曲线线型一般选用皮尔逊Ⅲ型。

（2）统计参数的初适值，可用矩法公式计算、Cv，并假定Cs/Cv比值，也可采用三点法、概率权重矩法和双权函数法等。三点法将在工作任务2中介绍，其他方法可参阅有关书籍。

图X3.11　频率计算适线法框图

（3）调整参数。矩法计算的抽样误差较小，一般可不作修改，主要调整Cv及Cs。

由以上可见，适线法层次清楚，图像明显，方法灵活，易于操作，它是一种能较好地满足水文频率计算要求的估计方法，在水文计算中广泛采用。此法的实质是以经验分布为基础，去估计总体的分布及统计参数。

【例X3.4】　某站年降水量资料见表X3.3。试用适线法推求该站年降水量的频率曲线，并确定相应于频率为10%、50%、90%的年降水量。

表X3.3　某站年降水量资料　　单位：mm

具体步骤如下：

（1）计算经验频率并点绘经验点。利用Excel软件进行计算，建立名为“经验频率与统计参数计算.xls”的工作薄，在其工作表“Sheet1”中建立计算表。

1）输入样本系列并降序排列。在A4单元格中输入“1956”，然后移动鼠标选取A4单元格右下角的填充柄，再按下“Ctrl”键及鼠标左键向下拖动至“1984”，即得A列数据，然后在B列输入逐年的年降水量。在C4单元格输入序号“1”，移动鼠标选取C4单元格右下角的填充柄，再按下“Ctrl”键及鼠标左键向下拖动至序号“29”，即得C列数据，然后复制B列的年降水量数据，并粘贴到D列，在D列数据被选中的基础上，单击工具栏中的“降序排序”按钮，并在“排序警告”对话框中选择“以当前选定区域排序”，则得到递减排列的样本序列，如图X3.12中所示的D列数据。

2）计算经验频率。利用“数学与三角函数”中的“ROUND”函数进行计算，并按指定的位数对数值进行四舍五入。例如，保留1位小数，具体方法是，在E4单元格输入“＝ROUND（C4100/（29＋1），1）”，然后按“Enter”键，即得到以百分数表示的经验频率“3.3”，接着选中E4单元格，鼠标指针变成黑十字时，按住鼠标左键，向下拖动填充E5～E32单元格，即得到各序号对应的经验频率，即E列数据。

图X3.12　经验频率与统计参数计算

3）根据图X3.12中D列数据与E列数据的对应数值，在频率格纸上点绘经验频率点，如图X3.13所示。

（3）调整参数。矩法计算的抽样误差较小，一般可不作修改，主要调整Cv及Cs。

【例X3.4】　某站年降水量资料见表X3.3。试用适线法推求该站年降水量的频率曲线，并确定相应于频率为10%、50%、90%的年降水量。

表X3.3　某站年降水量资料　　单位：mm

具体步骤如下：

（1）计算经验频率并点绘经验点。利用Excel软件进行计算，建立名为“经验频率与统计参数计算.xls”的工作薄，在其工作表“Sheet1”中建立计算表。

图X3.12　经验频率与统计参数计算

3）根据图X3.12中D列数据与E列数据的对应数值，在频率格纸上点绘经验频率点，如图X3.13所示。

（2）计算统计参数初适值。利用算术平均值函数“AVERAGE”计算样本均值。选择要输入平均值函数的单元格D34，然后输入“＝AVERAGE（D4：D32）”，再按下“Enter”键，即得到样本均值532.0mm。也可由第（4）列合计值＝15427.1，除以样本容量29得到。

类似地，计算F列的模比系数以及G列ki-1和H列（ki-1）2数据，并对各列求和，其中F列的模比系数的总和应等于n，G列的总和应等于0，据此可进行校核。图X3.12中F列、G列的总和，由于舍入影响，尾数略有误差是允许的。(https://www.chuimin.cn)

图X3.13　某站年降水量频率曲线

类似地，计算F列的模比系数以及G列ki-1和H列（ki-1）2数据，并对各列求和，其中F列的模比系数的总和应等于n，G列的总和应等于0，据此可进行校核。图X3.12中F列、G列的总和，由于舍入影响，尾数略有误差是允许的。

图X3.13　某站年降水量频率曲线

由H列的数据和（ki-1）2＝2.3369，计算年降水量的变差系数：

还可通过计算样本均方差，然后除以样本均值，求得变差系数。方法是选择要输入样本均方差函数的单元格D35，然后输入“＝STDEV（D4：D32）”，再按下“Enter”键，即得到样本均方差153.7mm。在样本均方差和样本均值的基础上，依据式（X3.15），在单元格F35中，输入“＝D35/D34”，再按下“Enter”键，即得到变差系数0.29。

一般由式（X3.15）计算的Cv值偏小，取Cv＝0.32，并假定Cs＝2Cv＝0.64作为初适值。

（3）选配皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

1）由参数初适值，查模比系数kp表，计算不同频率p相应的xp值，列入表X3.4中第（2）、（3）栏。在图X3.13中，由表X3.4第（1）、（3）两栏的对应数值点绘理论频率曲线，发现理论频率曲线在上部和下部均偏于经验点的下方，而中间部分略偏于经验点的上方，说明Cs偏小。

2）调整参数，重新配线。增大Cs，取Cs＝3Cv＝0.96，再次计算不同频率p相应的xp值列入表X3.4中第（5）栏。由（1）、（5）两栏的对应数值点绘理论频率曲线，如图X3.13所示，该线与经验点配合较好，将其作为该站采用的年降水量的频率曲线。

（4）推求频率10%、50%、90%的年降水量。由表X3.4第（1）、（5）栏或由采用的年降水量频率曲线，可确定频率10%、50%、90%对应的年降水量分别为x10%＝760.8mm、x50%＝505.4mm和x90%＝340.5mm。

表X3.4　理论频率曲线选配计算表

由H列的数据和（ki-1）2＝2.3369，计算年降水量的变差系数：

一般由式（X3.15）计算的Cv值偏小，取Cv＝0.32，并假定Cs＝2Cv＝0.64作为初适值。

（3）选配皮尔逊Ⅲ型频率曲线。

表X3.4　理论频率曲线选配计算表

上述用矩法公式计算系列的均值和变差系数，亦可由袖珍计算器的统计功能键进行计算：进入统计计算“STAT”状态后，将样本数据依次输入“M＋”键后，就可通过键得到样本均值和均方差的数值，然后由即可算得变差系数Cv值，读者可按说明书或在教师指导下操作。

目前，适线法可通过开发的Excel水文频率计算软件来实现。图X3.14为利用河北省水文水资源勘测局工程技术人员[1]开发的Excel水文频率计算软件，对［例X3.4］资料进行频率计算的适线结果。

图X3.14　利用Excel水文频率计算软件的适线结果

使用水文频率计算软件进行适线，具有方便、规范、减小计算工作量等显著优点。

图X3.14　利用Excel水文频率计算软件的适线结果

使用水文频率计算软件进行适线，具有方便、规范、减小计算工作量等显著优点。

优化目标最优化算法之目估适线法

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