了解皮尔逊Ⅲ型曲线，掌握应用

2023-06-21 理论教育版权反馈

【摘要】：皮尔逊Ⅲ型分布密度曲线如图X3.7所示。X3.5.2.2皮尔逊Ⅲ型频率曲线——理论频率曲线的计算由分布函数与密度函数的关系得直接由式对给定的xP，进行积分计算p是非常麻烦的。这一工作已先后由美国工程师福斯特和前苏联工程师雷布京完成，并制成了皮尔逊Ⅲ型曲线的离均系数Φp表，见附表1。

19世纪末期，英国生物学家皮尔逊通过对大量的物理、生物、经济等方面试验资料的分析研究，提出了13种随机变量的分布曲线，其中第Ⅲ型曲线被引入水文计算中，成为当今水文计算中常用的频率曲线线型。

X3.5.2.1　皮尔逊Ⅲ型分布的密度函数

皮尔逊Ⅲ型分布的密度函数为

式中　Γ（α）——α的伽玛函数；

α、β、a0——三个参数。

皮尔逊Ⅲ型分布密度曲线如图X3.7所示。

可以推证，这三个参数与总体的均值、变差系数、偏态系数具有下列关系

图X3.7　皮尔逊Ⅲ型密度曲线

a0是随机变量可能取得的最小值，故其密度曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线。在水文资料中，如年降水量、洪峰流量等，都不可能出现负数，故a0必须大于或等于零，由得知，在水文频率计算中一般Cs≥2Cv。

显然，当、Cv、Cs一定时，α、β、a0就唯一确定，因此，皮尔逊Ⅲ型分布的密度函数就完全确定了，则频率p＝p（X≥xp）与xp的关系也就一一对应，如图X3.7所示，通过计算可确定其关系值。

X3.5.2.2　皮尔逊Ⅲ型频率曲线——理论频率曲线的计算

由分布函数与密度函数的关系得

直接由式（X3.23）对给定的xP，进行积分计算p是非常麻烦的。因此，可将式（X3.23）进行变量代换计算，并将计算成果制成专用表，供实际工作查用。

1.离均系数Φp表

令

通常称Φ为离均系数或标准化变量，其均值为0，标准差为1。

对式（X3.23）引入离均系数Φ进行变量代换，整理后可得

X3.5.2.2　皮尔逊Ⅲ型频率曲线——理论频率曲线的计算

由分布函数与密度函数的关系得

直接由式（X3.23）对给定的xP，进行积分计算p是非常麻烦的。因此，可将式（X3.23）进行变量代换计算，并将计算成果制成专用表，供实际工作查用。

1.离均系数Φp表

令

通常称Φ为离均系数或标准化变量，其均值为0，标准差为1。

对式（X3.23）引入离均系数Φ进行变量代换，整理后可得

这样经变换后，式（X3.25）的被积函数中只含一个统计参数Cs，其他两个参数和Cv则包含在Φ中，因此只要给定一个Cs值，便可求得Φp与p的一一对应值。这一工作已先后由美国工程师福斯特和前苏联工程师雷布京完成，并制成了皮尔逊Ⅲ型曲线的离均系数Φp表，见附表1。

在频率计算时，当、Cv、Cs三个参数一定时，由已知的Cs值，利用附表1，可查得不同p所相应的Φp值，然后利用式（X3.24），由Φp即可求出不同p所相应的xp值，即

2.模比系数kp表

由模比系数的定义知，，则由式（X3.26）得kp＝ΦpCv＋1。为方便使用，利用离均系数Φp表，针对Cs等于Cv的一定倍数，已制成皮尔逊Ⅲ型曲线模比系数kp表，见附表2。使用时，只要根据给定的Cv及Cs（Cs以Cv的若干倍计），就可查得不同p相应的kp值，进而求出不同p相应的xp值，即

有了一系列（p，xp）关系值，也称为理论点，由其即可绘制皮尔逊Ⅲ型分布的理论频率曲线。

【例X3.3】　已知某地多年平均年降水量＝1000mm，Cv＝0.5，Cs＝2Cv＝1.0，若年降水量的分布符合皮尔逊Ⅲ型，试求p＝1%的年降水量。

由Cs＝1.0、p＝1%查附表1得Φp＝3.02，利用式（X3.26）得

或由Cv＝0.5，Cs＝2Cv，p＝1%查附表2，得kp＝2.51，则

X3.5.2.3　统计参数对皮尔逊Ⅲ型频率曲线的影响

【例X3.3】　已知某地多年平均年降水量＝1000mm，Cv＝0.5，Cs＝2Cv＝1.0，若年降水量的分布符合皮尔逊Ⅲ型，试求p＝1%的年降水量。

由Cs＝1.0、p＝1%查附表1得Φp＝3.02，利用式（X3.26）得

或由Cv＝0.5，Cs＝2Cv，p＝1%查附表2，得kp＝2.51，则

X3.5.2.3　统计参数对皮尔逊Ⅲ型频率曲线的影响

1.均值对频率曲线的影响

当皮尔逊Ⅲ型频率曲线的参数Cv和Cs值一定时，则相应的模比系数的频率曲线唯一确定。由可知，愈大，频率曲线的位置愈高，且均值大的频率曲线比均值小的频率曲线要陡，如图X3.8所示。

图X3.8　均值变化对频率曲线的影响

图X3.9　Cv变化对频率曲线的影响

2.变差系数Cv对频率曲线的影响

为了消除均值的影响，以模比系数k为变量绘制频率曲线，如图X3.9所示（图中Cs＝1.0）。当Cv＝0时，说明随机变量的取值都等于均值，故频率曲线即为k＝1的一条水平线。Cv越大，说明随机变量相对于均值越离散，因而频率曲线将越偏离k＝1的水平线。Cs一定时，不同Cv值的模比系数的频率曲线交于纵坐标k＝1的一点，随着Cv的增大，频率曲线显得越来越陡。

图X3.10　Cs变化对频率曲线的影响

3.偏态系数Cs对频率曲线的影响

对于正态分布Cs＝0，频率曲线绘在频率格纸上为一条直线。水文特征值的统计规律一般为正偏，在正偏情况下，曲线向上凹。当Cv一定时，以模比系数k为变量绘制的频率曲线，Cs值越大，曲线凹势越显著，即频率曲线的上端变陡而下端变平，曲线越弯曲，如图X3.10所示；反之，Cs值减少，则曲线凹势变小。