目前，轨道层较多采用钢骨混凝土及钢筋混凝土柱结构，钢管混凝土柱较少。表6.2某些高架站轨道层统计结果3）站场站场设置的有关内容详见第5 章。表6.3轨道层参数表6.3 中站台面至梁底结构高度实际为轨道层总厚度，对于较大的车站，其数值在4 ～6 m。......
2023-08-21
随机变量的统计参数优化
【摘要】：随机变量的概率分布完整地刻划了随机变量的统计规律。这种从侧面说明随机变量统计特性的某些特征数字，称为随机变量的统计参数。图X3.3Cv对密度曲线的影响图X3.4Cs对密度曲线的影响称Cv为样本变差系数或离势系数、离差系数，其式中，称为模比系数。
随机变量的概率分布完整地刻划了随机变量的统计规律。然而在许多实际问题中，还需要从某些侧面反映随机变量的统计特性。例如，对于年径流量，人们常常希望知道多年平均值多大，年际变化的离散程度如何等。这种从侧面说明随机变量统计特性的某些特征数字，称为随机变量的统计参数。
图X3.2 分布函数与密度函数关系示意图
统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。总体的统计参数与总体的分布有关，当总体未知时，总体的统计参数是未知的，只能通过样本统计参数来估计总体统计参数。
下面介绍水文计算中常用的样本统计参数。
1.样本均值
设某一随机变量的样本系列为x1，x2，…，xn，则样本的均值
为
样本均值反映随机变量取值的平均情况，反映系列总水平的高低。例如，甲、乙两地年降水量的均值，即多年平均年降水量分别为1000mm和400mm，由此可反映两地年降水量的多寡。
设某一随机变量的样本系列为x1，x2，…，xn，则样本的均值
为
样本均值反映随机变量取值的平均情况，反映系列总水平的高低。例如，甲、乙两地年降水量的均值，即多年平均年降水量分别为1000mm和400mm，由此可反映两地年降水量的多寡。
由式（X3.12）计算的样本均值
估计总体均值是无偏估计。所谓无偏估计，是指使用式（X3.12）估计总体均值时，样本均值
总是在总体均值左右徘徊，误差可能是正的，也可能是负的，多次使用此法进行估计时，平均情况下等于总体均值。无偏估计在工程技术中称为无系统误差。
由式（X3.12）计算的样本均值
估计总体均值是无偏估计。所谓无偏估计，是指使用式（X3.12）估计总体均值时，样本均值
总是在总体均值左右徘徊，误差可能是正的，也可能是负的，多次使用此法进行估计时，平均情况下等于总体均值。无偏估计在工程技术中称为无系统误差。
需要强调指出，无偏估计的概念，只是就平均意义而言的，在总体未知的情况下，由一个具体样本算得的样本均值
是大于还是小于总体均值，是不能确定的。
2.均方差和变差系数
均值能反映随机变量取值的平均情况，但不能反映随机变量取值的离散特征。例如有两个系列：A系列：5，10，15；B系列：1，10，19。
需要强调指出，无偏估计的概念，只是就平均意义而言的，在总体未知的情况下，由一个具体样本算得的样本均值
是大于还是小于总体均值，是不能确定的。
2.均方差和变差系数
均值能反映随机变量取值的平均情况，但不能反映随机变量取值的离散特征。例如有两个系列：A系列：5，10，15；B系列：1，10，19。
两系列均值相等
＝10，且容易看出系列B的离散程度比系列A大。采用一个定量指标来衡量，引入
反映随机变量取值的离散特征，称s′为样本系列的均方差，也称为标准差。s′与随机变量的取值x的单位相同。
对于均值相同的系列，可由s′的大小判断系列离散程度的大小。s′越大，系列的离散程度越大。
容易算出，上述A、B系列的均方差分别为s′a＝4.08，s′b＝7.35。
数理统计研究表明，用式（X3.13）计算样本均方差去估计总体的均方差是系统偏小的。为纠正系统偏差要对s′进行修正，数理统计中导出修正的样本均方差的计算式为
式中，s称为修正的样本均方差，亦简称样本均方差。该式就是生产实际中样本均方差的常用计算式，用其估计总体的均方差。应该指出，对有限容量的样本由s估计总体的均方差仍系统偏小，但比s′有所改善。
对于均值不同的系列，用s比较系列的离散程度就不合适了。引入无因次数
两系列均值相等
＝10，且容易看出系列B的离散程度比系列A大。采用一个定量指标来衡量，引入
反映随机变量取值的离散特征，称s′为样本系列的均方差，也称为标准差。s′与随机变量的取值x的单位相同。
对于均值相同的系列，可由s′的大小判断系列离散程度的大小。s′越大，系列的离散程度越大。
容易算出，上述A、B系列的均方差分别为s′a＝4.08，s′b＝7.35。
数理统计研究表明，用式（X3.13）计算样本均方差去估计总体的均方差是系统偏小的。为纠正系统偏差要对s′进行修正，数理统计中导出修正的样本均方差的计算式为
式中，s称为修正的样本均方差，亦简称样本均方差。该式就是生产实际中样本均方差的常用计算式，用其估计总体的均方差。应该指出，对有限容量的样本由s估计总体的均方差仍系统偏小，但比s′有所改善。
对于均值不同的系列，用s比较系列的离散程度就不合适了。引入无因次数
称Cv为样本变差系数或离势系数、离差系数，其式中
，称为模比系数。Cv值越大，系列的离散程度越大。Cv对密度曲线的影响如图X3.3所示。Cv越大，密度曲线形状越矮胖。对年降水量和年径流量系列来说，Cv的大小则反映了年降水量或年径流量的年际变化特征。Cv越大，年际变化越大，对水资源开发利用越不利。
3.偏态系数
引入反映随机变量取值相对于均值对称程度的特征参数，无因次数
称Cs为样本偏态系数，无因次。当Cs＝0，称为对称分布；当Cs＞0时，正离差立方和占优势，称为正偏分布；Cs＜0时，负离差立方和占优势，称为负偏分布。
图X3.3 Cv对密度曲线的影响
图X3.4 Cs对密度曲线的影响
称Cv为样本变差系数或离势系数、离差系数，其式中
，称为模比系数。Cv值越大，系列的离散程度越大。Cv对密度曲线的影响如图X3.3所示。Cv越大，密度曲线形状越矮胖。对年降水量和年径流量系列来说，Cv的大小则反映了年降水量或年径流量的年际变化特征。Cv越大，年际变化越大，对水资源开发利用越不利。
3.偏态系数
引入反映随机变量取值相对于均值对称程度的特征参数，无因次数
称Cs为样本偏态系数，无因次。当Cs＝0，称为对称分布；当Cs＞0时，正离差立方和占优势，称为正偏分布；Cs＜0时，负离差立方和占优势，称为负偏分布。
图X3.3 Cv对密度曲线的影响
图X3.4 Cs对密度曲线的影响
例如，对于系列A：3，4，5，6，7，可算得
，系列为对称分布。
例如，对于系列A：3，4，5，6，7，可算得
，系列为对称分布。
对于系列B：2，3，4，6，10，可算得
90，Cs＝1.43，系列为正偏分布。
｜Cs｜越大，随机变量的分布越偏。Cs对密度曲线的影响如图X3.4所示。例X3.2中年降水量的频率密度图呈现了明显的正偏规律。
对于系列B：2，3，4，6，10，可算得
90，Cs＝1.43，系列为正偏分布。
｜Cs｜越大，随机变量的分布越偏。Cs对密度曲线的影响如图X3.4所示。例X3.2中年降水量的频率密度图呈现了明显的正偏规律。
数理统计中可以证明正偏分布的一个结论：
。水文现象大多属于正偏分布，即Cs＞0，这说明水文变量取值大于均值的机会比取值小于均值的机会少。
用式（X3.12）～式（X3.16）计算样本参数来估计总体参数的方法称为矩法。这些公式常称为参数估计的矩法公式。除式（X3.12）估计总体均值为无偏估计外，其余各式作为总体相应参数的估值公式是系统偏小的，特别是式（X3.16）估计总体偏态系数系统偏小更为明显［2-4］。
需要指出，有些教科书中，认为式（X3.14）～式（X3.16）分别为总体均方差、变差系数、偏态系数的无偏估计公式是不正确的。
数理统计中可以证明正偏分布的一个结论：
。水文现象大多属于正偏分布，即Cs＞0，这说明水文变量取值大于均值的机会比取值小于均值的机会少。
用式（X3.12）～式（X3.16）计算样本参数来估计总体参数的方法称为矩法。这些公式常称为参数估计的矩法公式。除式（X3.12）估计总体均值为无偏估计外，其余各式作为总体相应参数的估值公式是系统偏小的，特别是式（X3.16）估计总体偏态系数系统偏小更为明显［2-4］。
需要指出，有些教科书中，认为式（X3.14）～式（X3.16）分别为总体均方差、变差系数、偏态系数的无偏估计公式是不正确的。
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