随机变量概率分布简介

2023-06-21 理论教育版权反馈

【摘要】：对于连续型随机变量，由于其可能取值无法一一列出，而且可以证明取个别值的概率等于零。因此连续型随机变量不存在分布律。此外，连续型随机变量也可用密度函数表示其统计规律。图X3.1频率密度图和频率分布图都会成为虚线表示的光滑曲线。前者称随机变量的概率密度曲线，后者称为随机变量的概率分布曲线。

离散型随机变量的统计规律，可以用随机变量的一切可能取值与其概率之间的对应关系来描述：

P（X＝xi）＝Pi（i＝1，2，…）

称为离散型随机变量的分布律。

或表示为

它具有两个性质：①Pi≥0（i＝1，2，…）；②＝1。

对于连续型随机变量，由于其可能取值无法一一列出，而且可以证明取个别值的概率等于零。因此连续型随机变量不存在分布律。而分布函数可以作为一个统一的工具，可以表示离散型在内的任意随机变量的概率分布情况，它研究随机变量在某个区间取值的概率，水文计算中常研究概率P（X≥x）。此外，连续型随机变量也可用密度函数表示其统计规律。下面结合例子介绍分布函数、密度函数的含义及两者的关系。

【例X3.2】　华北地区保定站具有样本容量n＝87年的年降水量系列。将年降水量作为随机变量X，其实测值即为X的取值x，进行如下统计计算。

（1）将年降水量分组，组距Δx＝200mm，见表X3.2中第（1）、（2）栏。

表X3.2　保定站年降水量分组频率计算表

（2）统计87个年降水量数据在每组中出现的次数、累计次数即X≥x的次数，x为组下限值；计算组内频率和累计频率，见表X3.2第（3）、（4）、（5）、（6）栏。

图X3.1　保定站年降水量频率密度图和频率分布图

（a）频率密度图；（b）频率分布图

（3）计算Δp/Δx，称为组内平均频率密度，见表X3.2第（7）栏。

（4）绘图。将表X3.2第（2）栏与第（7）栏绘直方图，如图X3.1（a）实线所示。图中各长方形面积表示组内频率，所有长方形面积之和等于1。这种频率密度值随随机变量取值x变化的图形称为频率密度图。

将表X3.2第（2）栏与第（6）栏绘阶梯形实折线，如图X3.1（b）所示。这种P（X≥x）与x对应规律的图形，称为频率分布图。

若资料年数无限增多，分组组距无限缩小，且频率趋于概率。图X3.1频率密度图和频率分布图都会成为虚线表示的光滑曲线。前者称随机变量的概率密度曲线，后者称为随机变量的概率分布曲线。

图X3.1（a）中，概率密度曲线与纵轴包围的面积表示概率，若密度曲线相应的函数记为f（x），某点x相应的f（x）值的大小，则反映了随机变量X在x附近取值的密集程度，称f（x）为密度函数。

根据图X3.1（b）纵、横坐标的含义，容易看出P（X≥x）随x不同而不同，是x的函数，此函数称为随机变量X的分布函数，记为F（x），即