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概率的加法和乘法定理详解

2023-06-21 理论教育版权反馈

【摘要】：以上介绍了直接确定事件概率的方法。计算复杂事件的概率常用概率的加法定理和乘法定理。设某河流某断面年最高洪水位为Zm，每年P＝0.01。假设每年发生Zm＞20.0m与否相互独立，试求今后两年内两岸至少被淹没一次的概率。于是利用式和式易知，A的对立事件的概率式可推广到任意多个互斥事件。于是利用式和式解法二由事件A，A1，A2的含义可知，表示“今后两年内两岸不被淹”，则。

以上介绍了直接确定事件概率的方法。计算复杂事件的概率常用概率的加法定理和乘法定理。

1.加法定理

式中　　P（A＋B）——事件A与B的和事件发生的概率；

P（A）、P（B）——事件A、B发生的概率；

P（AB）——事件A与B同时发生的概率。

特别地，当A、B互斥时

易知，A的对立事件的概率

式（X3.4）可推广到任意多个互斥事件。

2.乘法定理

式中　P（B｜A）——在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；

P（A｜B）——在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

当事件A、B相互独立时，则有

式（X3.8）可以推广到任意多个相互独立的事件。

【例X3.1】　设某河流某断面年最高洪水位为Zm，每年P（Zm＞20.0m）＝0.01。当Zm＞20.0m时，两岸被淹。假设每年发生Zm＞20.0m与否相互独立，试求今后两年内两岸至少被淹没一次的概率。

解法一　设A表示“今后两年内两岸至少被淹没一次”，Ai表示“第i年出现Zm＞20.0m”，i＝1，2。由题设A＝A1＋A2，A1，A2不互斥且相互独立。于是利用式（X3.3）和式（X3.8）

易知，A的对立事件的概率

式（X3.4）可推广到任意多个互斥事件。

2.乘法定理

式中　P（B｜A）——在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；

P（A｜B）——在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

当事件A、B相互独立时，则有

式（X3.8）可以推广到任意多个相互独立的事件。

【例X3.1】　设某河流某断面年最高洪水位为Zm，每年P（Zm＞20.0m）＝0.01。当Zm＞20.0m时，两岸被淹。假设每年发生Zm＞20.0m与否相互独立，试求今后两年内两岸至少被淹没一次的概率。

解法一　设A表示“今后两年内两岸至少被淹没一次”，Ai表示“第i年出现Zm＞20.0m”，i＝1，2。由题设A＝A1＋A2，A1，A2不互斥且相互独立。于是利用式（X3.3）和式（X3.8）

解法二　由事件A，A1，A2的含义可知，表示“今后两年内两岸不被淹”，则。可以证明A1与A2相互独立时，与也相互独立。于是利用式（X3.8）和式（X3.5）

则

显然，利用解法二的思路，容易计算今后n年内两岸至少被淹一次的概率，请读者自己完成。

解法二　由事件A，A1，A2的含义可知，表示“今后两年内两岸不被淹”，则。可以证明A1与A2相互独立时，与也相互独立。于是利用式（X3.8）和式（X3.5）

则

显然，利用解法二的思路，容易计算今后n年内两岸至少被淹一次的概率，请读者自己完成。