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2023-11-18
数据降维与主成分分析
【摘要】：为了说明什么是数据的主成分，先从数据降维说起。一般来讲，n维空间中的n个点一定能在一个n－1维子空间中分析。在上一段中，我们可以认为数据降维后并没有丢弃任何东西，因为这些数据在平面以外的第三个维度的分量都为0。主成分分析的思想:将n维特征映射到k维上(k＜n)，这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主成分，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中去除其余n－k维特征。
为了说明什么是数据的主成分，先从数据降维说起。假设三维空间中有一系列点，这些点分布在一个过原点的斜面上，如果用自然坐标系xyz的三个轴表示这组数据，需要使用三个维度。事实上，这些点的分布仅仅是在一个二维的平面上。如果把x，y，z坐标系旋转一下，就能使数据所在平面与xOy平面重合。如果把旋转后的坐标系记为x′y′z′那么这组数据只用x′和y′两个维度表示即可，这样就能把数据维度降下来了。当然，如果想恢复原来的表示方式，就需要知道两组坐标之间的变换矩阵。但是要看到这个过程的本质，如果把这些数据按行或者按列排成一个矩阵，那么这个矩阵的秩就是2。这些数据之间是有相关性的，这些数据构成的过原点的向量的最大线性无关组包含两个向量，这就是为什么一开始就假设平面过原点的原因。那么如果平面不过原点呢?这时就需要将数据中心化。将坐标原点平移到数据中心，这样原本不相关的数据在这个新坐标系中就有相关性了。有趣的是，三点一定共面，也就是说三维空间中任意三点中心化后都是线性相关的。一般来讲，n维空间中的n个点一定能在一个n－1维子空间中分析。
在上一段中，我们可以认为数据降维后并没有丢弃任何东西，因为这些数据在平面以外的第三个维度的分量都为0。现在假设这些数据在z′轴有一个很小的抖动，那么仍然可以用上述的二维表示这些数据，理由是我们可以认为这两个轴的信息是数据的主成分，而这些信息对于我们的分析已经足够了，z′轴上的抖动很有可能是噪声，也就是说本来这组数据是有相关性的，由于噪声的引入导致了数据不完全相关。
主成分分析的思想:将n维特征映射到k维上(k＜n)，这k维是全新的正交特征。这k维特征称为主成分，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中去除其余n－k维特征。
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2023-06-15
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