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2023-11-24
简单模型：单个半球晶粒的生长
【摘要】：图5.6中实线为Cu上生长的半球形笋钉状Cu6 Sn5的横截面示意。这个沟道为Cu原子进入熔融焊料并使笋钉状金属间化合物生长的快速扩散通路。因此，尽管生长过程增加了笋钉状金属间化合物的总体积，但并不会改变笋钉状金属间化合物的总表面积。而该模型最大的优点是能够把多体问题简化为单体问题。
图5.6（a）中实线为Cu上生长的半球形笋钉状Cu6 Sn5的横截面示意。为了分析笋钉状金属间化合物生长的动力学，做出如下假设[14-16]：
（1）为方便起见，忽略反应中出现的Cu3 Sn和Pb。
（2）两个笋钉状金属间化合物之间存在着深度可达Cu表面的液态沟道。假设沟道的宽度“δ”相比于笋钉状金属间化合物的半径较小，且当熔融焊料存在时，笋钉状金属间化合物和沟道保持热力学稳定。这个沟道为Cu原子进入熔融焊料并使笋钉状金属间化合物生长的快速扩散通路。尽管笋钉状金属间化合物被沟道分隔开，但是笋钉状金属间化合物间仍保持着紧密接触。图5.6（b）所示为笋钉状Cu6 Sn5、沟道以及Cu上的Cu3 Sn薄层的横截面TEM照片，箭头所示的沟道宽度小于50 nm。
（3）笋钉状金属间化合物的几何形状为半球形。若给定笋钉状金属间化合物和Cu之间的界面面积为“S total”，则所有的半球形笋钉状金属间化合物和熔融焊料之间的总表面积为“2S total”。在图5.6（a）中，如果用虚线半圆来表示一个单独的大尺寸半球形笋钉状金属间化合物的横截面，那么它的表面积是2S total，它与实线半圆表示的小尺寸笋钉状金属间化合物的表面积之和相等。因此，尽管生长过程增加了笋钉状金属间化合物的总体积，但并不会改变笋钉状金属间化合物的总表面积。
图5.6 半球形笋钉状金属间化合物和Cu6Sn5、沟道以及Cu上Cu3Sn薄层的横截面图
（a）Cu上生长的一列半球状Cu6Sn5笋钉状金属间化合物的横截面示意；（b）Cu6 Sn5笋钉、通道，以及铜上Cu3 Sn薄层的横截面TEM照片
（4）根据质量守恒，从Cu基板上扩散过来的Cu原子完全被笋钉状金属间化合物的长大所消耗，因此，从熟化区域流入熔融焊料的Cu原子扩散通量可忽略。
在熟化过程中，存在两个重要的约束条件：第一，反应的总表面积恒定。若笋钉状金属间化合物的形状为半球形，则笋钉状金属间化合物的总表面积为定值。因此，熟化过程是一个总表面积不变而体积增加的过程。第二，质量守恒，即所有流入的Cu原子均被笋钉状金属间化合物的生长所消耗。在经典的LSW熟化过程中，整个过程中体积几乎不发生变化，所以为表面积（以及表面能）的降低提供了反应的驱动力。
严格来说，由于笋钉状金属间化合物生长具有寄生性，其生长依赖于相邻较小的笋钉状金属间化合物的缩小，因此单尺寸分布（尺寸分布符合狄拉克δ函数）与笋钉状金属间化合物的生长过程并不相容。所以这一简化模型并不完美，充其量也只是在一个较小的笋钉状金属间化合物尺寸分布范围内的近似函数。而该模型最大的优点是能够把多体问题简化为单体问题。下面我们说明单尺寸近似适用于动力学平均值的粗略估计。
根据第一个约束条件，除了很窄的沟道面积外，笋钉状金属间化合物和Cu之间的界面完全被笋钉状金属间化合物占据，故可得
式中，N为笋钉状金属间化合物的个数；R为其半径；S total为常数。从基板上供给Cu原子的自由表面面积（底部沟道的横截面积）为
式中，δ为沟道宽度。因此自由表面的面积随笋钉状金属间化合物长大以1/R的速率降低。反应产物笋钉状金属间化合物的体积为
根据第二个约束条件，即质量守恒原则，所有从Cu基板扩散到熔融焊料中的Cu原子都被笋钉状金属间化合物的生长所消耗，因此可以得到
式中，ni是金属间化合物的原子密度，即单位体积内的原子数；Ci是Cu在金属间化合物中的原子分数，例如在Cu6Sn5中Ci值为6/11。则流入的Cu原子通量可大致表示为
图5.7 式（5.5）中C e和C b的意义
式中，α＝
，γ是金属间化合物/熔融表面上的各向同性的表面张力，Ω是摩尔体积，RG是气体常数，T是温度；C e和C b在图5.7中给以定义；这里α≈4.4×10-7 cm。
首先，若考虑
≪C b-C e的情况，则有
式中，n是熔融焊料的原子密度或单位体积内的原子数。接着，将式（5.2）、式（5.3）和式（5.6）代入式（5.4）中，可得
从而，可得出
注意：尽管存在“类似熟化”的时间定律，但速率常数的表达式中并未出现表面张力。
若取n/ni≈1，Ci＝6/11，D≈10-5 cm2/s，δ≈5×10-6 cm，C b-C e≈0.001，其中浓度C b取熔融焊料与Cu3Sn相达到平衡时的浓度，则速率常数k≈4×10-13 cm3/s。以退火时间t＝300 s为例，可估算出R≈5×10-4 cm，这与实验数据相当吻合。
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