敏感度分析方法简介

2023-06-20 理论教育版权反馈

【摘要】：然而，在不确定性情况下，这种方式就较难实现敏感度分析。因此，相关研究引入了许多解决不确定问题的方法，最常用的是蒙特卡洛模拟，并引进了等级相关系数来进行敏感度分析。因此，敏感度分析已经被广泛应用于各个领域，尤其在投资项目经济效益评估中使用较多。通过对已设置不同的概率分布函数的输入变量，进行多次独立的蒙特卡洛抽样，从而获得相应的预测变量值，用于随后的敏感度分析。

敏感度分析是指从定量分析的角度，研究一个或若干个模型变量（输入）的改变对模型行为（输出）影响程度的一种不确定性分析技术。国内外学者对敏感度的定义都是从确定性关系式中求导得到的。然而，在不确定性情况下，这种方式就较难实现敏感度分析。因此，相关研究引入了许多解决不确定问题的方法，最常用的是蒙特卡洛模拟，并引进了等级相关系数来进行敏感度分析。敏感度分析被运用于解决经济问题时，可以从众多不确定性因素中确定敏感度较大的关键因素；通过估算不确定因素的变化对经济指标值的影响程度来衡量风险的大小。因此，敏感度分析已经被广泛应用于各个领域，尤其在投资项目经济效益评估中使用较多。

1．蒙特卡洛模拟

蒙特卡洛（Monte Carlo）法（也称作随机抽样技术或统计实验方法）是用来解决数学或物理问题的非确定性（概率统计的或随机的）数值方法。它主要以概率论的大数定律和中心极限定量为基础，以随机抽样（随机变量的抽样）为主要手段。蒙特卡洛法在随机模拟计算上与其他数值方法相比，具有以下优点：算法及程序结构简单；收敛性与系统维数无关；受问题条件限制的影响较小、适应性强、方法直观等。在处理复杂高维的问题上，蒙特卡洛法有明显的优势，原因是其收敛速度和收敛性与问题的维度无关。蒙特卡洛误差计算公式：

其中，σ为随机变量的标准差，N为样本容量，λ为正态差，α为显著水平。

由此可看出，蒙特卡洛法的误差与样本元素所在的空间无关，而仅仅与标准差和样本容量有关。随着所研究问题的复杂度不断增加，其他数值计算方法的复杂度呈指数增加，而蒙特卡洛模拟方法几乎不受系统规模或复杂程度的影响，而仅仅与模拟次数有关。因此，蒙特卡洛法对处理各种复杂多维问题具有较强的适用性。但同时可以看出，蒙特卡洛法的计算精度与采样次数紧密相关，所以为了得到精密度较高的可靠性结果，需要增加采样次数。

运用蒙特卡洛计算方法时，需要有可得的、服从特定概率分布的、随机选取的数值序列。虽然在实际问题中，随机变量的抽样概率分布种类众多，但是只要产生了随机数，便可根据适当的数学方法来实现任意已知分布随机变量的抽样，因此，随机数是随机抽样的基本工具。在［0，1］上均匀分布的随机变量是最基本的随机数，其他分布随机变量的值，根据其相应的概率打入相应的［0，1］随机范围。随机变量的抽样方法有反函数法、变换抽样法等，而分布类型可分为离散型和连续型。其中，连续型分布函数为：正态分布、指数分布、均匀分布和三角分布。三角分布已经被广泛应用，它主要是针对缺乏历史统计资料和数据的参变量的情况，通过专家经验而得出的3个估计值：最劣质a、最可能值b以及最佳值c。

通常，采用蒙特卡洛法处理实际问题的基本步骤包括：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。其基本思想具体描述为：

假定经济指标值Y是关于多个独立随机变量X1，X2，…，Xn的函数，

Y＝f（X1，X2，…，Xn）

其中，随机变量的分布概率函数已知。利用随机数发生器直接或间接抽取随机变量X的一组值，当计算机产生的随机数落在规定的范围内时，就选取相应的变量值，即为随机抽样值（x1k，x2k，…，xnk），然后用各变量的随机抽样值来计算对应的Y值yk，

yk＝f（x1k，x2k，…，xnk）

其中k为正整数。

这样，对X变量组随机地取样一次就可以计算出相应的一个Y的随机值。通过重复若干次独立随机取样和计算，就可以得出若干个Y的函数值y1，y2，…，ym，并且符合正态分布。蒙特卡洛模拟法在解决此类问题时，不需对实际问题做过多简化和假设，也不需要太复杂的数学计算。当重复抽样试验的次数足够多时，便可以获得与实际情况相近的结果。

通过以上分析，蒙特卡洛法可以较好地应用在本书所研究的建筑全生命周期成本这个多维问题中。通过对已设置不同的概率分布函数的输入变量，进行多次独立的蒙特卡洛抽样，从而获得相应的预测变量值，用于随后的敏感度分析。在具体应用中，本书选择与四个清洁生产过程参数（φ1，φ2，φ3，φ4）相关的各成本动因作为随机变量，选择建筑全生命周期成本作为目标函数。

2．斯皮尔曼相关系数

等级相关系数简称等级系数，是用非参数方法表征两个随机变量之间统计关系强弱的一种方法，已被广泛应用于分析社会、经济方面的问题。斯皮尔曼（Spear man）等级系数是最常用的方法，是指根据等级资料研究两个变量间相关关系的方法。

斯皮尔曼等级相关系数的计算过程为：假设两个随机变量X与Y，所包含的元素个数均为N。其次，对两个随机变量X与Y按相同要求（升序或降序）进行排序，得到两个变量的元素排行集合（A，B）。最后，将集合A、B中的元素对应相减得到一个排行差分集合D，di＝ai－bi（i＝1，2，…，n），相关系数的计算公式为：

其中，di为样本的等级差，n为样本的容量。与积差相关系数相同，斯皮尔曼等级相关系数满足：－1≤rs≤1，即当等级为同一方向并完全一致时，等级系数为1；当等级为相反方向并完全一致时，等级系数为－1。斯皮尔曼等级系数的相关程度可定义为：当 pagenumber_ebook=84,pagenumber_book=77 ≥0．8时，则高度相关；当0．5≤＜0．8时，则中度相关；当0．3≤＜0．5时，则低度相关。斯皮尔曼等级相关系数的显著性检验可以用统计量t检验法判定。

斯皮尔曼等级相关系数的计算公式是从积差相关系数的公式推导出来的，因此，符合相关系数计算的原理，且通常用于小量分布。虽然实际资料与等级值并不完全相同，但两者的计算结果是一致的。此外，与积差相关系数相比，斯皮尔曼等级相关系数（Spear man Rank Coefficient）对数据的要求不严格，两个变量的观测值只要是成对的等级评定资料或者是由连续变量观测资料转化得到的等级资料，都可以进行相关性计算，而不论分析变量的总体分布形态、样本容量如何。在样本存在严重的单调非线性畸形时，运用斯皮尔曼相关系数计算相关性是合适的选择。

然而，斯皮尔曼等级相关系数不是所有情况下都适用，它是等级相关系数的一种特殊应用。相关研究指出，它适用于只有在无重复等级的情况下，其结果与一般的等级相关系数的计算结果一致，两者之间的关系为：r≤rs，其中r表示一般等级相关系数，rs表示斯皮尔曼相关系数，关系式中等号成立的条件为无重复等级。

在敏感度分析中，应用常规的敏感度函数分析时，往往会忽略了一些重要的信息，表现为某一输入变量的敏感度系数参量本身在函数值所占的绝对比例并不一致。实际上，相关参数的变化对函数值的影响程度，往往并不体现在绝对值的变化上。在这种情况下，为了避免敏感度分析的失效，运用相关系数法进行敏感度分析是一个较好的选择。因此，本书采用斯皮尔曼相关系数进行建筑全生命周期成本的敏感度分析具有一定适用性。

3．敏感度分析

敏感度的数学定义可描述为：假设目标函数Y与参数组X的函数关系式可简化为：

Y＝f（X1，X2，…，Xm）＝a1X1＋a2X2＋…＋amXm

根据敏感度的数学含义，对参数Xi求偏导，可以得到Y对任意参数Xi的敏感度系数函数为：

式中，i＝1，2，…，m。

当ai为正数时，则说明Xi的增加（或减少）会带来函数值Y的增加（或减少）；当ai为负数时，则说明Xi的增加（或减少）会带来函数值Y的减少（或增加）；当ai为零时，则说明函数值Y不受Xi的影响。绝对值 pagenumber_ebook=85,pagenumber_book=78 表征了Xi对函数值Y的影响程度。

从敏感度的数学定义可以看出，敏感度函数并不是参量函数值的变化绝对值，而仅表明参数Xi的变化对函数Y的敏感程度。参数Xi的数值与其敏感系数ai的乘积（即 pagenumber_ebook=85,pagenumber_book=78 ）是反映函数Y变化的量。假设Ximax为参数Xi的最大取值，而最小取值为Ximin，计算其对函数Y的影响程度：最大值Pimax＝与最小值Pimin＝。由此，可分析参数Xi对函数Y的敏感度含义：

（1）Pimax＋Pimin表征了函数值Y中参数Xi所占的份额。其数值较大，则说明了函数Y受参数Xi的影响较大，是关键的因素；反之，则是非关键因素，可不予考虑。

（2）Pimax－Pimin表征了函数值Y对参数Xi的实际敏感度。其数值较大，则说明函数Y对参数Xi的变化有较大的敏感度，即Xi的变化会对函数值Y产生较大的影响。因此，在分析实际问题中，要予以重视。

（3）当Pimax＋Pimin的值和Pimax－Pimin的值都较大时，则说明参数Xi是函数Y中非常关键的部分，是决策时要充分考虑的因素；反之，Pimax＋Pimin和Pimax－Pimin的值都较小，则说明参数Xi不是关键因素，在一般情况下可以忽视。

（4）当Pimax＋Pimin的值较大，而Pimax－Pimin的值较小时，说明参数Xi在函数Y中所占的份额较大，但是对函数Y的影响程度较小。因此，在方案选择时，在参数取值基本相同的情况下，可以采取忽略该参数的办法。反之，当Pimax＋Pimin的值较小，而Pimax－Pimin的值较大时，则说明参数Xi所占的成本较小，但对函数Y的影响程度较大，因此，在实际分析中，要认真考虑，从而保证分析结果的准确性。

结合蒙特卡洛法和斯皮尔曼相关系数的敏感度方法对建筑全生命周期成本进行成本动因敏感度分析。利用蒙特卡洛模拟可以分析不确定因素的影响，从统计规律上减少了相关系数的误差；采用斯皮尔曼相关系数进行敏感系数计算，较好地反映序列变量的相关性，其计算步骤如下：

首先，根据有关数据和资料，合理设置相互独立的各参数变量（X1，X2，…，Xn；n为参数个数）的概率分布函数P（Xi）（参量Xi是相互独立的），常用的有指数分布函数、三角分布函数、均匀分布函数和正态分布函数。

其次，对各参数变量Xi进行蒙特卡洛法分析，生产各参数的随机数xik（k＝1，2，…，N；N为样本容量）。蒙特卡洛法的计算精度与采样次数紧密相关，而样本容量的增加会提高计算的复杂度，因此根据情况选择合理的采样次数。

再次，通过预测变量关于各参量的估算关系式Y＝f（X1，X2，…，Xm），根据上一步骤所获得的各参数抽样值xik进行计算，获得对应的预测变量值yk。

最后，利用斯皮尔曼相关系数计算各参量的相关系数rsi（－1≤rsi≤1），经过归一化处理，得到各参数的敏感度系数ai：

敏感度系数ai表明了当各参数Xi在允许范围内独立变化时，预测变量Y的变化幅度。敏感度系数ai的值越高，Xi变化很小时，也会造成预测变量Y较大的变化；反之亦然。该敏感度的整个计算过程可以利用MATLAB来实现。

敏感度分析方法简介

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