欧拉公式适用的范围及限制条件

2023-06-19 理论教育版权反馈

【摘要】：欧拉公式的适用范围。欧拉公式是根据曲线近似微分方程导出的，应用此微分方程时，材料必须服从胡克定律。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr，不超过材料的比例极限σP，即λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即则欧拉公式的适用范围为式（9-5）表明，当压杆的柔度λ 不小于λP 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。

（1）临界应力和柔度。

有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时，需要知道临界应力，当压杆在临界力作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Pcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示，即

将式（9-1）代入上式，得

若将压杆的惯性矩I 写成

式中，i 为压杆横截面的惯性半径。

于是临界应力可写为

令λ=，则

上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ 称为压杆的柔度（或称长细比）。则

柔度λ 是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l 及惯性半径i 有关。由于压杆的长度系数μ 决定于压杆的支承情况，惯性半径i 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度λ 综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式（9-2）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。

（2）欧拉公式的适用范围。

欧拉公式是根据曲线近似微分方程导出的，应用此微分方程时，材料必须服从胡克定律。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr，不超过材料的比例极限σP，即λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即

则欧拉公式的适用范围为

式（9-5）表明，当压杆的柔度λ 不小于λP 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。从式（9-4）可知，λP 的值取决于材料性质，不同的材料都有自己的E 值和σP 值，所以，不同材料制成的压杆，其λP 也不同。例如Q235 钢，σP=200 MPa，E=200 GPa，由式（9-4）即可求得，λP=100。

欧拉公式适用的范围及限制条件

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