通过进一步的分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规律，从而由虎克定律可推出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化，如图7-2所示。图7-1梁的弯曲应力图7-2梁弯曲时，正应力分布规律......
2023-06-16
纯弯曲横截面应力分布规律
【摘要】：中性层与横截面的交线，称为中性轴。概括地说，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持平面，并绕中性轴做相对转动，而纵向“纤维”则均处于单向受力状态。式（7-5）表明了梁横截面上正应力的变化规律。而要确定截面上某点的正应力的大小，还需建立应力与内力之间的静力关系。纯弯曲时梁横截面任意点的正应力计算公式，在一定条件下也适用于横力弯曲。
1.基本假设
首先观察梁的变形。取一根对称截面梁（例如矩形截面梁），在其表面画上纵线与横线[图7-19（a）]。然后，在梁两端纵向对称面内，施加一对大小相等、方向相反的力偶，使梁处于纯弯曲受力状态。从实验可以观察到如图7-19（b）所示的现象：
（1）横向线仍为直线，只是横向线间做相对转动，但仍与纵向线正交；
（2）纵向线变为弧线，且靠近梁顶面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长；
（3）在纵向线伸长区，梁的宽度减小，而在纵向线缩短区，梁的宽度则增加，这与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：
（1）平面假设。变形前的横截面，变形后仍保持平面，且仍与纵向线正交。
（2）单向受力假设。梁内各纵向“纤维”仅承受轴向拉应力或压应力，即处于所谓单向受力状态。
上述假设已为实验与理论分析所证实。
根据平面假设，梁变形后横截面仍与各纵向线正交，即横截面上各点处均无剪应变，因此，梁纯弯时横截面上无剪应力。
根据平面假设，当梁弯曲时，部分 “纤维”伸长，部分 “纤维”缩短 [图7-19（b）]，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层（图7-20）。中性层与横截面的交线，称为中性轴。对称弯曲时，梁的变形对称于纵向对称面，因此中性轴必垂直于截面的纵向对称轴。
概括地说，纯弯曲时梁的所有横截面仍保持平面，并绕中性轴做相对转动，而纵向“纤维”则均处于单向受力状态。
图7-19 简支梁的变形分析
图7-20 简支梁的变形
简支梁变形
2.变形几何关系
依据以上分析，现从纯弯曲梁中取长度为dx 的微段（图7-21），其左右截面相对转角为dθ，中性层O′O′曲率半径为ρ。沿截面的纵向对称轴与中性轴分别建立y 轴和z 轴，距中性轴为y 的纵向线bb 原长为dx，它等于ρdθ，变形后弧长b′b′的长度为（y+ρ）dθ，所以纵向线的正应变为
上式表明，各纵向线的正应变与其到中性轴的距离y 成正比。
图7-21 梁的变形几何关系
梁的变形几何关系
3.物理关系
由胡克定律σ=Eε 可知，横截面上的正应力正比于ε，即
横截面上正应力的分布规律如图7-21（b）所示，沿截面宽度方向（离中性轴距离y相同的各点）正应力相同；沿截面高度方向按直线规律变化，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远的点正应力最大，即正应力正比于y。式（7-5）表明了梁横截面上正应力的变化规律。而要确定截面上某点的正应力的大小，还需建立应力与内力之间的静力关系。
4.静力平衡关系
从纯弯曲梁上任截取一个横截面，如图7-21（b）所示。自横截面上坐标为（y，z）处截取一微元面积dA，其上作用的微内力为σdA，它对z 轴的矩为σdA×y，整个横截面上所有微力矩的和等于该截面上的弯矩M，得
5.纯弯曲横截面上的正应力
理论已经证明了中性轴通过截面形心。因为y 轴为截面的对称轴，得中性轴通过截面形心且垂直于截面的对称轴，即垂直于力的作用平面。将式（7-5）代入式（7-6），对于确定的横截面E/ρ 为常数，于是有
式中 
为仅与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对z 轴的惯性矩。
由此得出：
式（7-7）是计算纯弯曲梁的中性层（梁的轴线）曲率半径的公式。EIz 称为截面抗弯刚度。
将式（7-7）代入式（7-5），得到横截面上任意一点正应力公式为纯弯曲正应力的公式
式中 Mz 为截面上的弯矩M；y 为所求应力点至中性轴的距离；Iz 为截面对中性轴z 轴的惯性矩。
应用式（7-8）时，M 与y 可以代入绝对值，所求点的σ 是拉应力还是压应力，可直接按梁的弯矩方向判断，如图7-20 所示。纯弯曲时梁横截面任意点的正应力计算公式，在一定条件下也适用于横力弯曲。
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