圆轴扭转时横截面切应力优化

2023-06-19 理论教育版权反馈

【摘要】：增加动画图6-12圆轴扭转变形试验按照平面假设，可得以下推论：横截面上无正应力。横截面上有切应力。因扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动，截面上各点相对错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。实心圆轴与空心圆轴横截面上切应力分布如图6-14 所示。

1.平面假设

取一圆轴进行扭转试验，试验前在圆轴表面作出若干等距的圆周线和纵向线，如图6-12（a）所示。实验时，圆轴一端固定，另一端施加外力偶。在外力偶的作用下，圆轴发生扭转变形。在变形微小的情况下，可以观察到以下现象：

（1）各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。

（2）所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度γ，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。

根据观察到的现象，可以假设：圆轴的横截面变形后仍为平面，其形状和大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一假设称为圆轴扭转时的平面假设。按照这一假设，在扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，一个接着一个产生绕轴线的相对转动，如图6-12（b）所示，右端面相对左端面绕轴线旋转了一个角度φ。

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增加动画

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图6-12　圆轴扭转变形试验

按照平面假设，可得以下推论：

（1）横截面上无正应力。因扭转变形时，圆轴相邻横截面间距不变，即圆轴没有纵向变形发生，所以横截面上没有正应力。

（2）横截面上有切应力。因扭转变形时，相邻横截面间发生相对转动，截面上各点相对错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。

（3）切应力方向与半径垂直。因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直。

（4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。

2.圆轴的扭转切应力分布规律

为了弄清楚横截面上各点切应变γρ 的分布规律及其与圆周表面的切应变γ 的关系，用两个垂直于轴线的平面从圆轴上截取一长为dx 的微段来研究（图6-13），则微段左右两侧面的相对扭转角为dφ，纵向线AB 倾斜小角度γ 成为AC。由几何关系可得

由此得

而在任意半径ρ 处的纵向线A′B′，根据平面假设转过dφ 后成为A′C′，其相应倾角为γρ，如图6-13 所示。由于是小变形，由图6-13 可知：B′C′=γρdx=ρdφ。于是

由于任意指定截面上，为常量，故由式（6-3）可知：横截面上任一点的切应变γρ 与该点到轴心的距离成正比，有ρ=0，γρ=0；ρ=R，γρ=γmax=γ。

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图6-13　横截面上切应变

切应力与切应变之间存在一定物理关系，由剪切胡克定律可知：当切应力不超过某一极限值时，切应力与切应变成正比，即τ=G·γ

由此，可得到圆轴扭转时横截面上各点的切应力为

上式表达了切应力在横截面上的分布规律：由于任意指定截面上，为常量，横截面上任意点处的切应力τρ 与该点到圆心的距离ρ 成正比，即τρ 沿半径呈线性变化。当ρ=0时，τρ=0；当ρ=0 时，τρ=τmax。又因为切应变γρ 发生在垂直于半径的平面内，所以横截面上各点切应力的方向垂直于半径且与扭矩的方向一致。实心圆轴与空心圆轴横截面上切应力分布如图6-14 所示。