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异步电动机的数学建模

2023-06-19 理论教育版权反馈

【摘要】：无论电动机转子是绕线转子还是笼型转子，都将它等效成三相绕线转子，并将转子侧参数折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。图2-1 三相异步电动机的物理模型规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋法则。这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程式、磁链方程式、转矩方程式和运动方程组成。因此，异步电动机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。

为了分析和理解，进行如下假设：

1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差120°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；

2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的；

3）忽略铁心损耗；

4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。

无论电动机转子是绕线转子还是笼型转子，都将它等效成三相绕线转子，并将转子侧参数折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。这样，实际电动机绕组就等效成图2-1所示的三相异步电动机的物理模型。

图2-1中，定子三相绕组轴线A、B、C在空间是固定的，以A轴为参考坐标轴；转子绕组轴线a、b、c随转子旋转，转子a轴和定子A轴间的电角度θ为空间角位移变量。

图2-1 三相异步电动机的物理模型

规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋法则。这时，异步电动机的数学模型由下述电压方程式、磁链方程式、转矩方程式和运动方程组成。式（2-1）为三相定子绕组的电压平衡方程，与此相应，式（2-2）为三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程。

式中 u_A、u_B、u_C、u_a、u_b和u_c——定子和转子相电压的瞬时值；

i_A、i_B、i_C、i_a、i_b、i_c——定子和转子相电流的瞬时值；

ψ_A、ψ_B、ψ_C、ψ_a、ψ_b、ψ_c——各相绕组的磁链；

R_s、R_r——定子和转子绕组电阻。

上述转子各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标均省略，以下同此。

将电压方程写成矩阵形式，如式（2-3）所示，也可以写为式（2-4）的形式，并以微分算子p代替微分符号d/dt。

每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其他绕组对它的互感磁链之和，因此，6个绕组的磁链方程如式（2-5），也可以写为式（2-6）的形式。

式中 L——6×6电感矩阵，其中对角线元素L_AA、L_BB、L_CC、L_aa、L_bb、L_cc是各有关定子或

转子绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。

实际上，与电动机绕组交链的磁通主要只有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，即主磁通，另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。

对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏感磁通之和，定子各相自感如式（2-7），转子各相自感如式（2-8）。

式中 L_ls——定子各相漏磁通所对应的电感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；

L_lr——转子各相漏磁通所对应的电感；

L_ms——与定子相绕组交链的最大互感；

L_mr——与转子相绕组交链的最大互感。

由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感都通过气隙，磁阻相同，故可认为L_ms=L_mr。

如果把磁链方程式（2-6）代入电压方程式（2-4）中，即得展开后的电压方程式（2-9）。

式中 θ——转子位置；

Ldi/dt——属于电磁感应电动势中的脉变电动势（或称变压器电动势）；

（dL/dθ）ωi——属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。

根据机电能量转换原理，在多绕组电动机中，在线性电感的条件下，磁场的储能W_m和磁共能W′_m表达式为式（2-10）。

而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率∂（电流约束为常值），且机械角位移为θ_m=θ/n_p，n_p为磁极对数。于是电磁转矩T_e表达式为式（2-11），将电感表达式代入，并且展开可以得到T_e表达式为式（2-12），电磁转矩的正方向为使θ减小的方向。

式（2-1）～式（2-12）是在线性磁路、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出来的，但对定、转子电流对时间的波形未作任何假定，式中的i都是瞬时值。因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压变频器供电的含有电流谐波的三相异步电机调速系统。

在一般情况下，电力拖动系统的运动方程式如式（2-13）。

式中 T_L——负载阻转矩；

J——机组的转动惯量；

D——与转速成正比的阻转矩阻尼系数；

K——扭转弹性转矩系数。对于恒转矩负载，D=0，K=0，则T_e表达式为式（2-14），。

因此，异步电动机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。