其中 θA、θB分别表示 A 端和 B 端的转角，其转向以顺时针为正；ΔA、ΔB分别表示 A、B 两端沿杆轴垂直方向的线位移，其方向以绕另一端顺时针方向转动为正；ΔAB表示 A、B 两端的相对线位移，β＝ΔAB/l 表示直线 A′B′ 与 AB 的平行线的交角，称为弦转角，并规定以顺时针方向转动为正。......
2023-08-30
杆端位移对杆端力的影响
【摘要】：已知A端的转角位移为φA，B端的转角位移为φB，A、B两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移为ΔAB。现求由其引起的杆端内力。关于它们的正负号规定如下：杆端转角φA、φB均以顺时针方向为正；杆件两端的相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针方向转动为正。再以弯矩符号MAB代替X1，用MBA代替X2，上式便可写成这就是由杆端位移φA、φB和ΔAB所引起的杆端弯矩的计算公式。此外，由静力平衡条件还可求出杆端剪力。
如图15-6（a）所示两端固定的单跨超静定梁，两端的支座发生了位移。已知A端的转角位移为φA，B端的转角位移为φB，A、B两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移（亦简称侧移）为ΔAB（AB杆沿水平方向和竖直方向的平行移动，均不引起杆端内力，故只需考虑A、B两点间的相对线位移的影响）。现求由其引起的杆端内力。关于它们的正负号规定如下：
（1）杆端转角φA、φB均以顺时针方向为正；杆件两端的相对线位移ΔAB则以使整个杆件顺时针方向转动为正。
（2）杆端弯矩规定以对杆端以顺时针方向旋转为正（对结点或支座则以反时针方向旋转为正）。
（3）杆端剪力的正负号规定同前。
图15-6所示的杆端弯矩及位移均以正值标出。
图15-6 两端固定的单跨超静定受力分析
用力法求解这一问题时，可取如图15-6（b）所示的简支梁为基本结构，其多余约束反力为杆端弯矩X1、X2和轴力X3。目前，可以认为轴向约束反力X3对梁的弯矩并没有影响，可不予考虑，只需求解X1和X2。
根据沿X1和X2方向的位移条件，可建立力法方程如下：_
式中的系数和自由项均可按前面的方法求得。作出
图[图15-6（c）]、
图[图15-6（d）]后，由图乘法可得系数
自由项Δ1Δ和Δ2Δ是由于支座移动所引起的简支梁两端的转角位移，由图15-6（e）可见，支座转动并不使基本结构产生任何转角位移；而支座两端相对线位移所引起的两端转角为
式中，βAB称为弦转角，亦以顺时针方向为正。
将以上所求得的系数和自由项代入力法方程解得
为了方便，令
称为杆件的线刚度。再以弯矩符号MAB代替X1，用MBA代替X2，上式便可写成
这就是由杆端位移φA、φB和ΔAB所引起的杆端弯矩的计算公式。此外，由静力平衡条件还可求出杆端剪力。即
将MAB、MBA代入上式即得
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