变形体的虚功原理及其相应的单位力法并不仅限于求解静定结构的位移，同样也适用于求解超静定结构的位移，问题是如何使计算得到简化。这两个弯矩图都是经超静定结构的力法计算所得。若按图 6-39和图 6-39进行图乘计算，得结果与前相同，说明方法正确，即计算超静定结构的位移可采用去除多余约束后的静定结构建立虚拟力状态，把问题转化为静定结构的位移计算，这将使计算工作大为简化。......
2023-08-30
基本概念与思路：位移法解决超静定结构的方法
【摘要】：力法是以多余未知力为基本未知量，位移法则是以某些结点的位移作为基本未知量，这是力法和位移法的基本区别之一。为了说明位移法的基本概念，现以图15-1所示超静定刚架为例来分析其位移。综上所述，位移法的基本思路是：分析结构的结点位移情况，确定基本未知量。利用平衡条件建立位移法基本方程，求解基本未知量。
应用力法求解超静定结构，是以多余约束力为基本未知量，取与原结构受力等效，位移协调的静定结构为基本结构，由位移协调条件建立基本方程求解基本未知力，再利用静力平衡条件进一步求出结构中的其他内力、支座反力和位移。然而，在一定的外因作用下，结构的内力与位移之间具有恒定的关系，即：确定的内力只与确定的位移相对应。因此，在分析超静定结构时，也可以把结构中的某些位移作为基本未知量，首先将这些位移求解出来，然后，再据此计算结构的内力，这便是位移法。力法是以多余未知力为基本未知量，位移法则是以某些结点的位移（包括结点的角位移和结点的线位移）作为基本未知量，这是力法和位移法的基本区别之一。
利用位移法计算超静定结构的方法有两种：一是直接利用平衡条件建立位移法方程；二是和力法类似，建立位移法的典型方程。其实这两种方法本质上是一样的，而前一种方法思路清晰、过程简单、更容易理解，所以本章主要介绍前一种方法。
为了说明位移法的基本概念，现以图15-1（a）所示超静定刚架（各杆EI为常数）为例来分析其位移。在荷载F作用下，刚架将发生图中虚线所示的变形，刚结点B处的两端均发生相同的转角位移φB。在结构分析中，对于受弯杆件来说，通常都略去杆件轴向变形和剪切变形的影响，且认为弯曲变形是微小的，因而可假定结构中各杆两端之间的距离在变形前后仍保持不变，因而结点B处没有线位移。在图15-1所示刚架中，由于固定支座A和固定铰支座C处都不能产生移动，而B结点与A、C两结点之间的距离又保持不变，因此，B结点处没有线位移而只有角位移φB。
图15-1 超静定刚架受力分析
如何根据B点的角位移来确定各杆的内力呢？图15-1所示刚架，是由两根杆件组成的，现在我们先对每根杆件进行研究。如果将刚结点B看成固定支座，则BC杆可视为一根一端固定一端铰支的单跨超静定梁，其上除了受到荷载F的作用外，在固定支座B处还发生了转角位移φB，如图15-1（b）所示；同理，BA杆则可视为两端固定的单跨超静定梁，而在固定端B处发生了转角φB，如图15-1（c）所示。根据表14-1可写出各杆的杆端弯矩如下（注意到BC杆既有荷载，又有结点角位移，故应叠加）：
以上各式表示等截面直杆杆端力与杆端位移之间的关系，即用结点B处的角位移φB表示的杆端弯矩方程，所以又称为转角位移方程。由于φB是未知量，因而各杆端的杆端弯矩尚不能确定。为了确定φB，可以利用刚性结点B处力矩的代数和等于零的平衡条件，即由∑MB＝0可得
MBC＋MBA＝0
将MBC、MBA表达式代入上式，求得
再将iφB代回各杆端弯矩式得到
据此便可以作出该刚架的弯矩图，如图15-1（d）所示。
综上所述，位移法的基本思路是：
（1）分析结构的结点位移情况，确定基本未知量。
（2）将结构的各杆拆分为单跨超静定梁，查表14-1列出各杆杆端弯矩的表达式。
（3）利用平衡条件建立位移法基本方程，求解基本未知量。
（4）将求出的基本未知量代回杆端弯矩的表达式计算各杆的杆端弯矩。
（5）作内力图。
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