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竖向荷载作用下三铰拱的内力计算

2023-06-16 理论教育版权反馈

【摘要】：三铰拱为静定结构，其全部支座反力和内力都可由平衡条件确定。图12-22竖向荷载作用下的三铰拱内力计算1.支座反力的计算三铰拱有四个支座反力。即拱的竖向反力与相应简支梁的竖向反力相同。试计算图12-23所示三铰拱的内力，并绘制其内力图。图12-24三铰拱内力图弯矩图；剪力图；轴力图

三铰拱为静定结构，其全部支座反力和内力都可由平衡条件确定。现以图12-22（a）所示在竖向荷载作用下的三铰拱为例，来说明它的支座反力和内力的计算方法。为了便于比较，同时给出了同跨度、同荷载的相应简支梁相对照，如图12-22（b）所示。

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图12-22　竖向荷载作用下的三铰拱内力计算

1.支座反力的计算

三铰拱有四个支座反力。根据整体平衡条件，可以求出拱的竖向反力。

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即拱的竖向反力与相应简支梁的竖向反力相同。

由得到

FAx＝FBx＝H

H称为水平推力。取拱顶铰C以左部分为隔离体，由，得到水平推力为

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表示相应简支梁截面C处的弯矩，据此可以得到三铰拱支座反力的计算公式：

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由上述三式可知，求解三铰拱竖向反力FAy、FBy，可以通过求相应简支梁的支座反力而求得。而水平推力H等于相应简支梁截面C的弯矩除以拱高f而得。在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：

（1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。

（2）竖向支座反力与拱高无关。

（3）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力H与拱高f成反比，即拱高f越大，水平反力H越小；反之，拱高f越小，水平反力H越大。

2.内力计算公式

对图12-22（a）所示三铰拱，可用截面法求拱内任一截面内力。

取出隔离体AK段，如图12-22（c）所示，K截面上的内力有弯矩MK、剪力VK、轴力NK，其正负号规定如下：弯矩以拱内侧受拉为正，反之为负；剪力以使隔离体顺时针转向为正，反之为负；轴力以压为正，拉为负。图12-22（d）为相应简支梁及其相应截面内力。经过适当推导，可以得到拱的某一指定截面的内力为

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注意：φK的符号在图示坐标系中左半拱为正，右半拱为负。

【例12-4】试计算图12-23所示三铰拱的内力，并绘制其内力图。已知拱曲线方程。

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图12-23　三铰拱计算简图

解：（1）求支座反力。

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（2）截面的内力计算。在计算截面内力时，可以将拱跨分为8等份，按照式（12-4）至式（12-6）计算出各等分点截面的弯矩、剪力和轴力。计算时，为了清楚和便于检查，可以列表进行（略）。然后，根据计算结果绘出M、V、N图。

为了说明计算过程，现以集中力作用点D截面为例，计算如下：

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故φD＝－33.7°，sinφD＝－0.555，cosφD＝0.832。

根据式（12-4）至式（12-6），可得

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重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图，如图12-24（a）、（b）、（c）所示。

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图12-24　三铰拱内力图

（a）弯矩图；（b）剪力图；（c）轴力图