压杆柔度与临界应力的欧拉公式计算方法

2025-09-29 理论教育版权反馈

【摘要】：于是临界应力可写为令则上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度。从式（9-3）还可以看出，压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σP，即有若设λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限σP时的柔度值，则故欧拉公式的适用范围为上式表明，当压杆的柔度不小于λP时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。

（1）临界应力和柔度。前面导出了计算压杆临界力的欧拉公式，当压杆在临界力Fcr作用下处于直线状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力Fcr除以横截面面积A，称为临界应力，用σcr表示，即

将式（9-2）代入上式，得

令

式中 i——压杆横截面的惯性半径。

于是临界应力可写为

令则

上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l及惯性半径i有关。由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i决定于截面的形状与尺寸，因此，从物理意义上看，柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式（9-3）还可以看出，压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。(https://www.chuimin.cn)

（2）欧拉公式的适用范围。欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σP，即

有

若设λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限σP时的柔度值，则

故欧拉公式的适用范围为

上式表明，当压杆的柔度不小于λP时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于大柔度杆。从式（9-4）可知，λP的值取决于材料性质，不同的材料有不同的E值和σP值，因此，不同材料制成的压杆，其λP也不同。例如Q235钢，σP＝200MPa，E＝200GPa，由式（9-4）即可求得，λP＝100。

压杆柔度与临界应力的欧拉公式计算方法

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