于是临界应力可写为令则上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度。从式（9-3）还可以看出，压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr不超过材料的比例极限σP，即有若设λP为压杆的临界应力达到材料的比例极限σP时的柔度值，则故欧拉公式的适用范围为上式表明，当压杆的柔度不小于λP时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。......
2023-06-16
欧拉公式：细长压杆临界力计算方法
【摘要】：下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。两端铰支细长杆的临界力计算公式——欧拉公式。从欧拉公式可以看出，细长压杆的临界力Fcr与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长l的平方成反比。杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。
从上述讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。因此，使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。
（1）两端铰支细长杆的临界力计算公式——欧拉公式。
设两端铰支长度为z的细长杆，在轴向压力Fcr的作用下保持微弯平衡状态，如图9-2所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为
图9-2 细长杆受力情况
将式（b）代入式（a），得
进一步推导（过程从略），可得临界力为
上式即为两端铰支细长杆的临界压力计算公式，称为欧拉公式。
从欧拉公式可以看出，细长压杆的临界力Fcr与压杆的弯曲刚度成正比，而与杆长l的平方成反比。
（2）其他约束情况下细长压杆的临界力。杆端为其他约束的细长压杆，其临界力计算公式可参考前面的方法导出，也可以采用类比的方法得到。经验表明，具有相同挠曲线形状的压杆，其临界力计算公式也相同。于是，可将两端铰支约束压杆的挠曲线形状取为基本情况，而将其他杆端约束条件下压杆的挠曲线形状与之进行对比，从而得到相应杆端约束条件下压杆临界力的计算公式。为此，可将欧拉公式写成统一的形式：
式中μl为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l折算成两端铰支压杆的长度，μ为长度系数。几种不同杆端约束情况下的长度系数μ值列于表9-1中。从表9-1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定另一端铰支，计算长度为l的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l）与长为l的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l。其他约束条件下的长度系数和折算长度可以依此类推。
表9-1 压杆长度系数
【例9-1】如图9-3所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l＝2m，截面形状为矩形，b＝20mm、h＝45mm，材料的弹性模量E＝200GPa。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b＝h＝30mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？
解：（1）计算截面的惯性矩。由前述可知，该压杆必在弯曲刚度最小的xy平面内失稳，故式（9-2）的惯性矩应以最小惯性矩代入，即
（2）计算临界力。查表9-1得μ＝2，因此临界力为
图9-3 例9-1图
（3）当截面改为b＝h＝30mm时，压杆的惯性矩为
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
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2023-08-26
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2023-06-19
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2023-08-26
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2023-06-16
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2023-06-19
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2023-06-19
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