重心和形心的求解方法：分割法

2023-06-16 理论教育版权反馈

【摘要】：由试验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。因此，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式（7-3）求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简单图形的面积，而yi、zi为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。

1.重心

地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力。由试验可知，不论物体在空间的方位如何，物体重力的作用线始终是通过一个确定的点，这个点就是物体重力的作用点，称为物体的重心。

（1）一般物体重心的坐标公式。如图7-4所示，为确定物体重心的位置，将它分割成各个微小块，各微小块重力分别为G1，G2，…，Gn，其作用点的坐标分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，（xn，yn，zn），各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力其作用点的坐标为C（xC，yC，zC）。对y轴应用合力矩定理，有

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图7-4　物体重心

得

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同理，对x轴取矩可得

将物体连同坐标转90°而使坐标面Oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得

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因此，一般物体的重心坐标的公式为

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（2）均质物体重心的坐标公式。对均质物体用r表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G＝Vr，微小体积为Vi，微小体积重力Gi＝Viy，代入式（7-2），得均质物体的重心坐标公式为

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由上式可知，均质物体的重心与重力无关。因此，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。

（3）均质薄板重心（形心）的坐标公式。对于均质等厚的薄平板，如图7-5所示，取对称面为坐标面Oyz，用δ表示其厚度，Ai表示微体积的面积，将微体积Vi＝δAi及V＝δA代入式（7-3），得重心（形心）坐标公式为

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图7-5　均质等厚薄平板重心

因每一微小部分的xi为零，所以xi＝0。

2.形心

形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上，如图7-6所示。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形，然后可按式（7-3）求得其形心的坐标，这时公式中的Ai为所分割的简单图形的面积，而yi、zi为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形，可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。

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