据此可以判断，在荷载组中部的几个集中荷载作用的截面，发生绝对最大弯矩的可能性最大。经验表明，在通常情况下产生简支梁绝对最大弯矩时的临界荷载 FK就是使跨中截面产生最大弯矩时的临界荷载。试求简支梁的绝对最大弯矩，并与跨中截面 C 的最大弯矩相比较。包络图分为弯矩包络图和剪力包络图。......
2023-08-30
剪力图和弯矩图：梁内力变化规律的图形表达
【摘要】：为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。根据剪力方程和弯矩方程判断剪力图和弯矩图的形状，确定控制截面的个数及内力值，作图。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。
为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。绘图时，以平行于梁轴线的坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。
在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上方，负剪力作在x轴的下方，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下方，负弯矩作在x轴的上方，即弯矩图总是作在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。
【例6-5】作图6-19（a）所示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
图6-19 例6-5图
解：因为图示梁为悬臂梁，所以可以不求支座反力。
（1）列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的截面左侧研究。
剪力方程为
FQ＝－FP(0＜x＜l)
弯矩方程为
M＝－FPx(0≤x＜l)
（2）作剪力图和弯矩图。剪力方程为x的常函数，所以不论x取何值剪力恒等于－FP，剪力图为一条与x轴平行的直线，而且在z轴的下方。剪力图如图6-19（b）所示。
弯矩方程为z的一次函数，所以弯矩图为一条斜直线。由于不论z取何值弯矩均为负值，所以弯矩图应作在x轴的上方。
当x＝0时
MA＝0
当x＝l时
作弯矩图如图6-19（c）所示。
与作杆件的轴力图、扭矩图类似，在作出的剪力图上要标出控制截面的内力值、剪力的正负号，作出垂直于x轴的细直线；而弯矩图比较特殊，由于弯矩图总是作在梁受拉的一侧，因此可以不标正负号，其他要求同剪力图。
【例6-6】作图6-20（a）所示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。
图6-20 例6-6图
解：（1）取整体梁为隔离体，由平衡方程
得
得
校核
说明支座反力计算正确。
（2）列剪力方程和弯矩方程。经过观察注意到：该梁在C截面上作用一个集中力，使AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不同，因此，列方程时要将梁从C截面处分成两段。
AC段：在AC段上距A端为z1的任意截面处将梁截开，取左段研究，根据左段上的外力直接列方程
CB段：在CB段上距B端为x2的任意截面处将梁截开，取右段研究，根据右段上的外力直接列方程
（3）作剪力图和弯矩图。根据剪力方程和弯矩方程判断剪力图和弯矩图的形状，确定控制截面的个数及内力值，作图。
剪力图：AC段和CB段的剪力方程均是x的常函数，所以AC段、CB段的剪力图都是与z轴平行的直线，每段上只需要计算一个控制截面的剪力值。
AC段：剪力值为
，图形在x轴的上方。
CB段：剪力值为
，图形在z轴的下方。
弯矩图：AC段和CB段的弯矩方程均是x的一次函数，所以AC段、CB段的弯矩图都是一条斜直线，每段上需要分别计算两个控制截面的弯矩值。
AC段：当x1＝0时，MA＝0
当x1＝a时，
将MA＝0及
两点连线即可以作出AC段的弯矩图。
CB段：当x2＝0时，MB＝0
当x2＝b时，
将MB＝0及
两点连线即可以作出CB段的弯矩图。
作出的剪力图、弯矩图如图6-20（b）、（c）所示。
应注意：应将内力图与梁的计算简图对齐。在写出图名（FQ图、M图）、控制截面内力值，标明内力正、负号的情况下，可以不作出坐标轴。习惯上作图时常用这种方法。
由弯矩图可知：简支梁上只有一个集中力作用时，在集中力作用处弯矩出现最大值，
若集中力正好作用在梁的跨中，即
时，弯矩的最大值为
。
这个结论在今后学习叠加法时经常用到，要特别注意。
在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是平行于x轴的直线。在集中力作用处，剪力图是不连续的，称之为剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值；在梁上无荷载作用的区段，其弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。
【例6-7】作图6-21（a）所示外伸梁在集中力偶作用下的剪力图、弯矩图。已知：M＝4FPa。
解：（1）求支座反力。取梁AD为隔离体，由平衡方程
得
得
FBy＝FAy＝FP(↑)
（2）列剪力方程和弯矩方程。以梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面为分段的界限，将梁分成AB、BC、CD三段。
AB段：在AB段的任意位置x1处取截面，并取截面左侧研究，由作用在左侧梁段上的外力可知
FQ1＝－FAy＝－FP(0＜x1＜4a)
M1＝－FAyx1＝－FPx1(0≤x1≤4a)
BC段：在BC段的任意位置x2处取截面，并取截面右侧研究，由作用在右侧梁段上的外力可知
FQ2＝0(0≤x2＜a)
M2＝－M＝－4FPa(0＜x2≤a)
（3）作剪力图和弯矩图。
剪力图：AB段的剪力方程为常函数，BC段、CD段的剪力方程也为常函数，所以每段只需要确定一个控制截面的剪力值即可。
AB段的剪力值为－FP，BC段的剪力值为0，CD段的剪力值为0，在AB段范围内平行于x轴作数值等于－FP的直线作出AB段的剪力图；在BC段范围内平行于x轴作数值等于0的直线作出BC段的剪力图；在CD段范围内平行于z轴作数值等于0的直线作出CD段的剪力图。作出的剪力图如图6-21所示。
图6-21 例6-7图
在B处由于有集中力的作用，剪力图在该处发生了突变现象；而在C处有集中力偶作用，剪力图在该处偏左、偏右的数值没发生变化，称之为剪力图在C处无变化。
弯矩图：AB段的弯矩方程为一次函数，需要确定两个控制截面的弯矩值；BC段、CD段的弯矩方程为常函数，只需要分别确定一个控制截面的弯矩值即可。
AB段：当x1＝0时，MA＝0
当x1＝4a时，MB＝－4FPa
BC段：不论x2取何值，该段上的弯矩恒为－4FPa。
CD段：不论x3取何值，该段上的弯矩恒为0。
将MA＝0与MB＝－4FPa连线作出AB段的弯矩图；在BC段范围内平行于x轴按比例作数值等于－4FPa的直线作出BC段的弯矩图；在CD段范围内平行于x轴作数值等于0的直线作出CD段的弯矩图。作出的弯矩图如图6-21所示。
在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。而且在梁上无荷载作用的区段，当剪力图为与x轴重合的直线（即剪力图为平行于x轴的直线，且数值为零）时，弯矩图是一条平行于x轴的直线，特殊情况下与x轴重合。
【例6-8】作图6-22（a）所示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
图6-22 例6-8图
解：（1）求支座反力。由对称关系可知
（2）列剪力方程和弯矩方程。在距左端点为x的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得
（3）作剪力图和弯矩图。由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，所以剪力图为一条斜直线，需要确定两个控制截面的数值。
当x＝0时，
当x＝l时，
将
与
连线得梁的剪力图，如图6-22（b）所示。
由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。
当x＝0时，MA＝0
当x＝l时，MB＝0
当x＝l/2时，
MA＝0,
,MB＝0
将三点连线得梁的弯矩图，如图6-22（c）所示。
注意：对于简支梁在满跨向下均布荷载作用下的弯矩图，在今后学习中经常用到，要牢记这个弯矩图。
【例6-9】作图6-23（a）所示外伸梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力。
∑MB＝0,－FAy×5a＋q×7a×1.5a＝0
得
∑MA＝0,FBy×5a－q×7a×3.5a＝0
得
（2）列剪力方程和弯矩方程。根据梁的端截面及集中力的作用截面将梁分成AB、BC两段。在AB段上距左端点为x1的位置取任意截面，并取截面左侧研究，由该段上的外力可得
在BC段上距右端点为x2的位置取任意截面，并取截面右侧研究，由该段上的外力可得
（3）作剪力图和弯矩图。由剪力方程可知：剪力为x的一次函数，剪力图为斜直线，各段上分别需要确定两个控制截面的数值。
当x1＝0时，FQA＝2.1qa
当x1＝5a时，
当x2＝0时，FQC＝0
当x2＝2a时，
将FQA＝2.1qa与
连线，将
与FQC＝0连线得梁的剪力图，如图6-23（b）所示。
图6-23 例6-9图
由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为二次抛物线，各段上分别需要确定三个控制截面的数值。
当x1＝0时，MA＝0
当x1＝5a时，MB＝－2qa2
当x1＝2.1a时，剪力等于零；弯矩取得该段上的极值Mmax＝2.2qa2。
当x2＝0时，MC＝0
当x2＝2a时，MB＝－2qa2
当x2＝a时，
将MA＝0与Mmax＝2.2qa2和MB＝－2qa2三点连线得AB段梁的弯矩图；将MC＝0与MB＝－2qa2和
三点连线得BC段梁的弯矩图，如图6-23（c）所示。
在水平梁上有向下均布荷载作用的区段，剪力图为从左向右的下斜直线，弯矩图为开口向上（下凸）的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。
上述几个典型例题总结出的一些规律具有普遍意义，对于今后快速作图、检查剪力图和弯矩图的正确性都非常有用，应该重点掌握。
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