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2023-07-15
虎克定律及其应用于砖柱的分析
【摘要】：E的数值随材料而异，是通过试验测定的，其单位与应力单位相同。将式（5-1）及式（5-2）等代入式（5-5）可得式（5-6）是虎克定律的另一表达形式，它表明当杆件应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。解：当P达到15kN时，正应力为由虎克定律得图5-12所示为一方形截面砖柱，上段柱边长为240mm，下段柱边长为370mm。
对于工程上常用的材料，如低碳钢、合金钢等所制成的轴向拉（压）杆，由实验证明：当杆的应力未超过某一极限时，纵向变形Δl与外力P、杆长l及横截面面积A之间存在如下比例关系：
引入比例常数E，则有
在内力不变的杆段中N＝P，可将上式改写成
这一比例关系，是1678年首先由英国科学家虎克提出的，故称为虎克定律。式中比例常数E称为弹性模量，从式（5-5）知，当其他条件相同时，材料的弹性模量越大，则变形越小，它表示材料抵抗弹性变形的能力。E的数值随材料而异，是通过试验测定的，其单位与应力单位相同。EA称为杆件的抗拉（压）刚度，对于长度相等，且受力相同的拉杆，其抗拉（压）刚度越大，则变形就越小。
将式（5-1）及式（5-2）等代入式（5-5）可得
式（5-6）是虎克定律的另一表达形式，它表明当杆件应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。
上述的应力极限值，称为材料的比例极限，用σP表示。
【例5-4】为了测定钢材的弹性模量E，将钢材加工成直径d＝10mm的试件，放在试验机上拉伸，当拉力P达到15kN时，测得纵向线应变ε＝0.00096，求这一钢材的弹性模量。
解：当P达到15kN时，正应力为
由虎克定律得
【例5-5】图5-12所示为一方形截面砖柱，上段柱边长为240mm，下段柱边长为370mm。荷载F＝40kN，不计自重，材料的弹性模量E＝0.03×105 MPa，试求砖柱顶面A的位移。
解：绘出砖柱的轴力图，如图5-12（b）所示，设砖柱顶面A下降的位移为Δl，显然它的位移就等于全柱的总缩短量。由于上、下两段柱的截面面积及轴力都不相等，故应分别求出两段柱的变形，然后求其总和，即
图5-12 例5-5图
【例5-6】计算图示5-13（a）结构杆①及杆②的变形。已知杆①为钢杆，A1＝8cm2，E1＝200GPa；杆②为木杆，A2＝400cm2，E2＝12GPa，P＝120kN。
解：（1）求各杆的轴力。
取B结点为研究对象[图5-13（b）]，列平衡方程得
因
，故α＝57.53°，sinα＝0.843，cosα＝0.537，代入式（1）、式（2）解得
图5-13 例5-6图
N1＝76.4kN（拉杆），N2＝－142.3kN（压杆）
（2）计算杆的变形。
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