若已知Fx、Fy 值，可求出F 的大小和方向，即2.平面汇交力系合成的解析法设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…应用式（3-6）、式（3-7）计算合力大小和方向的方法，称为平面汇交力系合成的解析法。案例3-4 求图3-12 所示平面汇交力系的合力。式（3-9）称为平面汇交力系的平衡方程，这是相互独立的两个方程，所以只能求解两个未知量。由于滑轮的大小可忽略不计，故这些力可看作是平面汇交力系。......
2023-06-19
解析法：另一种常用的求解平面汇交力系合成的方法
【摘要】：求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。图2-3力的分解图2-4各力在坐标轴上的投影解：根据式（2-3）、式（2-4），列表计算如下：2.合力投影定理为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。图2-8例2-2图解析法。
求解平面汇交力系合成的另一种常用方法是解析法。这种方法是以力在坐标轴上的投影为基础建立方程的。
1.力在平面直角坐标轴上的投影
设力F用矢量
表示，如图2-3所示。取直角坐标系Oxy，使力F在Oxy平面内。过力矢
的两端点A和B分别向x、y轴作垂线，得垂足a、b及a′、b′，带有正负号的线段ab与a′b′分别称为力F在x、y轴上的投影，记作Fx、Fy。并规定：当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向一致时，力的投影取正值；反之，当力的始端的投影到终端的投影的方向与投影轴的正向相反时，力的投影取负值。
力的投影的值与力的大小及方向有关，设力F与x轴的夹角为α，则从图2-3可知
一般情况下，若已知力F与x和y轴所夹的锐角分别为α、β，则该力在x、y轴上的投影分别为
即力在坐标轴上的投影，等于力的大小与力和该轴所夹锐角余弦的乘积。当力与轴垂直时，投影为零；而力与轴平行时，投影大小的绝对值等于该力的大小。
反过来，若已知力F在坐标轴上的投影Fx、Fy，也可求出该力的大小和方向角：
式中 α——力F与x轴所夹的锐角，其所在的象限由Fx、Fy的正负号来确定。
在图2-3中，若将力沿x、y轴进行分解，可得分力Fx和Fy。应当注意，力的投影和分力是两个不同的概念：力的投影是标量，它只有大小和正负；而力的分力是矢量，有大小和方向。它们与原力的关系各自遵循自己的规则。在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值是相同的。同时，力的矢量也可以转化为力的标量进行计算，即
式中 i、j——沿直角坐标轴x、y轴正向的单位矢量。
力在平面直角坐标轴上的投影计算，在力学计算中应用非常普遍，必须熟练掌握。
【例2-1】已知F1＝100N，F2＝200N，F3＝300N，F4＝400N，各力的方向如图2-4所示，试分别求各力在x轴和y轴上的投影。
图2-3 力的分解
图2-4 各力在坐标轴上的投影
解：根据式（2-3）、式（2-4），列表计算如下：
2.合力投影定理
为了用解析法求平面汇交力系的合力，必须先讨论合力及其分力在同一坐标轴上投影的关系。
设有一平面汇交力系F1、F2、F3作用在物体的O点，如图2-5（a）所示。从任一点A作力多边形ABCD，如图2-5（b）所示。则矢量
就表示该力系的合力R的大小和方向。取任一轴x，把各力都投影在x轴上，并且令Fx1、Fx2、Fx3和Rx分别表示各分力F1、F2、F3和合力R在x轴上的投影，由图2-5（b）可知
图2-5 合力投影定理
Fx1＝ab,Fx2＝bc,Fx3＝－cd,Rx＝ad
而
ad＝ab＋bc－cd
因此可得
Rx＝Fx1＋Fx2＋Fx3
这一关系可推广到任一个汇交力的情形，即
由此可见，合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。
3.用解析法求平面汇交力系的合力
当平面汇交力系为已知时，如图2-6所示，可选直角坐标系，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求得合力R在x、y轴上的投影Rx、Ry，从图2-6中的几何关系，可见合力R的大小和方向由下式确定：
式中 α——合力R与x轴所夹的锐角。
R在哪个象限由Fx和Fy的正负号来确定，具体如图2-7所示。合力的作用线通过力系的汇交点O。
图2-6 平面汇交力系
图2-7 合力R所在象限的确定
下面举例说明如何求平面汇交力系的合力。
【例2-2】如图2-8所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已知F1＝10kN，F2＝20kN，F3＝25kN，三力均通过圆心O。试求此力系合力的大小和方向。
解：运用两种方法求解合力。
（1）几何法。取比例尺为：1cm代表10kN，画力的多边形，如图2-8（b）所示。其中，ab＝|F1|，bc＝|F2|，cd＝|F3|。从起点a向终点d作矢量
，即得合力R。由图量得，ad＝4.4cm，根据比例尺可得，R＝44kN；合力R与水平线之间的夹角用量角器量得α＝22°。
图2-8 例2-2图
（2）解析法。取如图2-8所示的直角坐标系Oxy，则合力的投影分别为
Rx＝F1cos30°＋F2＋F3cos60°＝41.16(kN)
Ry＝－F1sin30°＋F3sin60°＝16.65(kN)
则合力R的大小为
合力R的方向为
由于Rx＞0，Ry＞0，故α在第一象限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇交点O。
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