机械图样绘制与识读-截断体与相贯体

项目三　截断体与相贯体

项目要求

任何复杂的物体都是由简单几何体经过叠加、切割形成的。简单的几何体经过平面切割形成截断体，简单的几何体经过叠加形成相贯体。平面切割曲面立体时，截平面和曲面的交线一般为平面曲线，叫截交线。简单几何叠加时，曲面和曲面的交线一般为空间曲线，叫相贯线。截交线和相贯线是工程图学中重要的概念，在绘制和识读机械图样中具有重要作用，要熟练掌握截交线和相贯线的画法。

绘制截交线和相贯线的基本方法是形体分析法和线面分析法。研究截交线就要研究平面和曲面转向轮廓线的交点，研究相贯线也要研究两个曲面转向轮廓线的交点。求截交线和相贯线上点的投影的方法是辅助平面法和曲面上点的投影理论，所以要深刻理解曲面对投影面的转向轮廓线的概念及其投影，要深刻理解和掌握形体分析法的基本原理。

机械制图国家标准（GB/T 16675.1—1996）规定，曲面立体的相贯线可以采用简化表示法或模糊画法，了解国家标准的规定对绘制和识读机械图样具有重要的意义。

学习目标

☆　掌握截断体三视图的画法

☆　掌握相贯体三视图的画法

☆　掌握相贯线的简化表示法和模糊画法

任务3.1　绘制圆柱截断体的三视图

任务引导

1．圆柱体被平面切割，柱面与平面的截交线有表3-1所示的三种情况：

2．当截平面与圆柱体的轴线垂直时，截交线为圆。

3．当截平面与圆柱体的轴线平行时，截交线为直线。

4．当截平面与圆柱体的轴线倾斜时，截交线为椭圆。

截交线的画图步骤：

1．画出圆柱体没有切割之前的三视图。

2．在截平面垂直与投影面的视图上，确定截平面的位置，因截平面垂直于该投影面，所以，截断面在该投影面上的投影为直线，根据立体图（或模型）确定截平面在该投影面上的投影。

3．求截交线的其他两个视图。在柱面反映圆的视图上，截交线的投影和圆重合，在柱面投影不为圆的视图上，根据前两个视图求出该投影面上的视图，如果投影为椭圆，要先求出椭圆的长短轴，再求出椭圆上的一些一般点，用曲线段连成光滑曲线。

4．整理轮廓线，把切去的轮廓线擦除。

表3-1　圆柱截交线

任务要求

绘制如图3-1所示圆柱截断体的三视图。

图3-1　圆柱截断体

任务解析

相关知识

一、图3-1（a）

形体分析：基本形体为圆柱体，先用一个侧平面和水平面切去一角，侧平面和柱面的交线为线段，水平面和柱面的交线为圆弧；再用两个正平面和水平面切去一个矩形槽，矩形槽的侧面和柱面的交线为线段，槽的底面与柱面的交线为圆弧，如图3-2所示。

图3-2　形体分析

画图步骤（如图3-3所示） ：

图3-3　绘图步骤

1．先画出圆柱体的投影。

2．再画切角的投影，切角的投影要先画主视图，再画俯视图，左视图是由主视图和俯视图求出来的。

3．画矩形切槽的投影，矩形切槽的投影要先画左视图，再画俯视图，主视图是由俯视图和左视图求出来的。

4．整理轮廓线，将切去的轮廓线擦除。

二、图3-1（b）

形体分析和线面分析：基本形体为圆柱体，用一个水平面和正垂面切去一角，水平面和柱面的交线为线段，截断面形状为矩形。正垂面和柱面的交线为椭圆弧，椭圆弧的圆心为O点，O点在圆柱体的轴线上，长轴的端点为A，A在圆柱面最上边的素线上（柱面对V面的转向轮廓线） ，短轴的端点为B和C， B、 C在柱面最后和最前边的素线上（柱面对H面的转向轮廓线） ，E、F是椭圆弧的端点，也是水平截断面和柱面交线的端点。

画图步骤（如图3-4所示） ：

图3-4　绘图步骤

（1）先画出圆柱体的投影。

（2）再根据模型（或立体图） ，在主视图上确定截断面的投影，矩形截断面的左视图为直线，椭圆弧截交线的左视图为圆弧。

（3）椭圆弧的俯视图仍为椭圆弧，可先求出截交线上的特殊点（转向轮廓线上的点和曲线段的端点） ，再求些一般点，利用对称性求出对称点，然后用曲线板光滑连接各点。

（4）整理轮廓线。

任务拓展

六棱柱截断体三视图的绘制和圆柱截断体相同，绘制棱柱截断体三视图的方法和步骤如下：

（1）绘制基本几何体的三视图。

（2）根据实物模型或轴测图确定截断面的位置，画出截断体的主视图。

（3）求截断面的俯视图和主视图，要一个点、一条线的分析截断面的投影。

（4）整理轮廓线。对没有被切掉的轮廓线，分析其可见性，删除被切掉的轮廓线。

图3-5　六棱柱截断体三视图绘图步骤

任务3.2　绘制圆锥截断体的三视图

任务引导

圆锥体被平面切割时，锥面与平面的截交线可分为表3-2所示的五种情况：

1．当截平面过圆锥体的锥顶时，截断面为等腰三角形。

2．当截平面垂直于圆锥体的轴线时，截断面为圆。

3．当截平面与圆锥体的轴线所成的角大于半锥角时，截交线为椭圆。

4．当截平面与圆锥体的轴线所成的角等于半锥角，即截断面与圆锥体的素线平行时，截交线为抛物线。

5．当截平面与圆锥体的轴线平行时，截交线为双曲线。

表3-2　圆锥截交线

注：α 为截断面和圆锥轴线的夹角，β 为圆锥的半锥角

圆锥截交线为曲线时的画图步骤：

1．先画出圆锥体的三视图。

2．根据模型或立体图，确定截断面积聚为直线的投影。

3．截交线的投影为曲线时，要先求特殊点的投影——立体对投影面转向轮廓线上的点和特征点称作特殊点。

4．用“辅助素线法”和“辅助圆法”求一般点的投影。一般点指不在转向轮廓线上、也不是特征点的点。

5．用曲线板连接成光滑曲线。

任务要求

如图3-6所示，已知圆台切割矩形槽后的主视图，参考轴测图补绘俯视图和左视图。

图3-6　圆锥截断体

任务解析

相关知识

形体分析：槽的侧面P为侧平面，并和圆锥的轴线平行，所以，P平面和锥面的交线为双曲线段，并且侧面投影反映实形。槽的上面R为水平面，并和圆锥的轴线垂直，所以，R平面和锥面的交线为圆弧，并且水平投影反映实形，圆弧的半径可从主视图上求得。

画图步骤（如图3-7所示） ：

1．画圆台的三视图。

2．求槽的侧面P和锥面的交线双曲线的顶点和端点，顶点在锥面对V面的转向轮廓线上，W面投影和轴线重合，端点在圆台的底圆上。

3．求槽上双曲线弧的上端点，用辅助圆法。

4．求槽上的双曲线弧的一般点，用辅助圆法。

5．作槽的顶面和锥面交线——圆弧的水平投影和W面的投影，注意圆弧的半径不要量错。

6．整理轮廓线，从主视图上可以看出，锥面对W面的转向轮廓线被矩形槽切去了一段，圆台的底圆也被切去了一段圆弧，所以，俯视图不再是完整的圆。

图3-7　圆锥截断体三视图画图步骤

任务拓展

绘制图3-8所示三棱锥截断体的三视图。

图3-8　三棱锥截断体

绘图步骤（如图3-9所示） ：(www.chuimin.cn)

1．绘制基本几何体三棱锥的三视图。将底面放置为水平面，后侧面放置为侧垂面。

2．确定截断面的位置。截断面为正垂面，画出截断面的主视图。

3．求三棱锥侧棱和截断面交点的水平投影和W面投影。空间F点要先求出W面投影f ″然后根据“宽相等”求出水平投影f。

4．整理轮廓线。截断面与侧棱交点E、F、G到锥顶的线段被切除。

图3-9　三棱锥截断体三视图绘图步骤

任务3.3　绘制带切口的半圆球的三视图

任务引导

圆球面截交线

圆球体被平面切割，不论截平面处于什么位置，空间交线总为圆。当圆球体被投影面平行面切割时，球面与截平面的交线的投影如表3-3所示，截断面在其平行的投影面上的投影为圆，在其他两个投影面上的投影为直线。

表3-3　球体截交线

任务要求

如图3-10所示，已知半圆头螺钉头部的主视图，参考轴测图补画俯视图和左视图。

图3-10　半球截断体

任务解析

相关知识

形体分析：螺钉头部是由半球被侧平面P和水平面R切割而成的，矩形槽在V面上的投影具有积聚性。侧面P和球面的交线为圆弧，圆弧在W面上的投影反映实形，水平面投影积聚成线段。水平面R和球面的交线为圆弧，圆弧在H面上的投影反映实形，侧面投影积聚成线段。

画图步骤（如图3-11所示） ：

图3-11　半圆球截断体三视图绘制步骤

1．先画出半球没有被切割之前的投影；

2．作侧平面P和球面交线圆弧的投影，先画左视图（半径为R1） ，后画俯视图；

3．作水平面R和球面交线圆弧的投影，先画俯视图（半径为R2） ，后画左视图；

4．判断可见性，整理轮廓线。

任务3.4　两轴线垂直相交的圆柱体的相贯线

任务引导

两个立体表面相交时产生的交线，称为相贯线。相贯线具有下列性质：

1．共有性。相贯线是两个曲面立体表面的公共线，也是两个立体表面的分界线，相贯线上的点是两个立体表面的公共点。

2．封闭性。在一般情况下，相贯线是闭合的空间曲线，特殊情况下也可以是平面曲线或直线。

一、圆柱与圆柱相交相贯线的画法

圆柱面和圆柱面的轴线垂直相交时，称之为正交。正交时相贯线有两个对称面，相贯线在两个柱面反映圆的视图上的投影为圆和圆弧，相贯线在两个柱面不反映圆的视图上的投影为曲线。两圆柱正交时，按柱面的可见性分为外圆柱与外圆柱、外圆柱与内圆柱、内圆柱与内圆柱相贯，如表3-4所示。绘制圆柱与圆柱正交相贯线的方法有利用投影的积聚性表面取点法、简化画法和模糊画法。

表3-4　圆柱相贯线

1．表面取点法

图3-12为直径不等的两圆柱正交的轴测图。小圆柱上的所有素线均与大圆柱相交，大圆柱上只有部分素线与小圆柱相交。小圆柱面的左视图积聚成圆，大圆柱面的俯视图积聚成圆，所以相贯线的左视图是一个和小圆柱面重合的圆，俯视图是一段和大圆柱面重合的圆弧。利用相贯线俯视图和左视图的投影即可求出其主视图。

图3-12　圆柱正交轴测图

绘图步骤（如图3-13所示） ：

图3-13　圆柱相贯线画图步骤

（1）首先画出两个圆柱体的三视图，在柱面有积聚性的视图上找出相贯线的投影。

（2）求特殊点的投影。所谓特殊点，就是两个柱面转向轮廓线上的点和表示相贯线空间极限范围的点，本例中的A、B、C、D即为柱面对V面和H面转向轮廓线上的点，也是空间曲线最高点、最低点、最后点和最前点。先找出相贯线上特殊点的俯、左视图，然后根据高平齐、长对正求出其主视图。

（3）求一般点的投影。先在相贯线的俯视图上适当位置取一点（m和n点） ，根据宽相等求出其在相贯线上的左视图，最后根据高平齐、长对正求出其主视图。

（4）根据点在空间的连接顺序，用曲线板连接成光滑曲线。

2．两圆柱正交时相贯线的简化画法

为了简化作图，国家标准规定，允许采用简化画法绘制相贯线的投影，即用圆弧代替非圆曲线。如图3-14所示，主视图上的相贯线，用过a′、b′和d′（c′）三点的圆弧代替相贯线。

图3-14　圆柱相贯线的简化画法

3．相贯线的模糊画法

柱面与柱面偏交（轴线相交，但不垂直） 、或柱面与组合曲面相交时，在不致引起误解时，图形中的相贯线可采用图3-15所示的模糊画法，需要注意的是，采用模糊画法不能影响相贯体的形状、大小和相对位置，也不能产生分离的图形，以免给读图带来困难。

4．圆柱正交时的特殊情况

当两个圆柱的直径相等时，相贯线将由空间曲线变为平面曲线，曲线形状是椭圆弧或椭圆，如图3-16所示。椭圆平面是正垂面，和水平面成45°角，两个椭圆在V面上的投影聚积成直线，其他两个投影面上的投影为圆或圆弧。

图3-15　相贯线的模糊画法

图3-16　圆柱正交时的特殊情况

任务要求

一、已知俯视图和左视图，参考轴测图，补画主视图（如图3-17所示） ：

图3-17　圆柱相贯体

二、已知俯视图和左视图，参考轴测图，补画主视图（如图3-18所示） ：

图3-18　内圆柱相贯体

任务解析

相关知识

一、已知俯视图和左视图，参考轴测图，补画主视图（如图3-17所示） ：

形体分析和线面分析：本案例的基本形体为水平放置的圆柱筒，在圆柱筒上又钻了一个孔，钻孔的直径小于圆筒的内径，钻孔和圆筒的内、外圆柱面产生4条相贯线，在主视图上孔和孔的相贯线不可见。当两个柱面的直径不相等时，可以采用圆弧绘制相贯线的V面投影。

画图步骤（如图3-19所示） ：

图3-19　绘图步骤

1．绘制圆柱筒和钻孔的轮廓线。

2．找出相贯线在H和W面的投影，绘制相贯线的V面投影。钻孔和圆筒外圆柱面的相贯线用半径R1绘制，钻孔和圆筒内圆柱面的相贯线用半径R2绘制。

3．整理轮廓线。圆筒内、外圆柱面对V面的转向轮廓线被钻孔切断；钻孔对V面的转向轮廓线只有圆筒壁之间的一段，孔内没有转向轮廓线。

二、已知俯视图和左视图，参考轴测图，补画主视图（如图3-18所示） ：

形体分析和线面分析：本案例的基础形体是一个长方体，先在长方体上水平钻一个通孔，又从上面向下钻一个细孔，和水平孔钻通，再从下面钻一个和水平孔直径相等的孔。两直径相等的内圆柱面相交产生的相贯线是两段椭圆弧，V面投影积聚为直线且不可见，两个直径不相等的内圆柱面相交，相贯线的V面投影可以用圆弧绘制。

画图步骤（如图3-20所示） ：

图3-20　画图步骤

1．绘制基本形体的轮廓线，水平圆柱孔内没有垂直孔的转向轮廓线，垂直圆柱孔内也没有水平圆柱孔的转向轮廓线。

2．绘制相贯线的V面投影。先找出相贯线的水平和侧面投影，再绘制相贯线的V面投影。

3．判断可见性，整理轮廓线。

任务拓展

辅助平面法求柱面与锥面正交时的相贯线

求相贯线上点的投影的基本方法是辅助平面法，其依据是三面共点原理，即假想用一个平面（辅助平面） ，去剖切相交的两个曲面，得到两组截交线，这两组截交线均在剖切平面上，两组截交线的交点就是两个曲面的公共点，即相贯线上的点。利用剖切平面的积聚性，可以求出该点的投影。辅助平面的选择应满足三个条件：辅助平面和投影面处于平行位置或垂直位置；辅助平面和两曲面的截交线为圆或直线；两截交线有交点。

如图3-21所示，已知左视图，参考轴测图，补全圆柱与圆锥正交时的主视图和俯视图。

图3-21　圆柱与圆锥正交的相贯体

形体分析和线面分析：圆柱和圆锥正交时，相贯线的空间形状关于两相交轴线平面对称。该对称平面是正平面，所以相贯线上对称的两点在V面上的投影重合。相贯线的侧面投影和圆柱面的侧面投影重合。由于锥面和柱面在H面上的投影没有积聚性，所以相贯线的水平投影是复杂曲线。

画图步骤（如图3-22所示） ：

1．求特殊点。过柱面和锥面对V面转向轮廓线，用正平面假想将物体切开，辅助平面和柱面、锥面的交线就是转向轮廓线，两组交线的交点为A和B是相贯线上的点。轮廓线的交点就是A、B的V面投影，长对正求出A、B的水平投影。

2．求特殊点。过柱面对H面的转向轮廓线，用水平面假想将物体切开，辅助平面和柱面的交线就是柱面的转向轮廓线，和锥面的交线是水平圆，该圆和柱面转向轮廓线的交点C和D是相贯线上的点。先求出C、D的水平投影，长对正求出其V面投影。

图3-22　辅助平面法求相贯线的绘图步骤

3．求一般点。用水平面假想将物体切开，辅助平面和柱面的交线是直线，和锥面的交线是水平圆，直线和圆的交点M和N是相贯线上的点。先求出两组截交线的水平投影，其交点就是M和N的水平投影，长对正求出其V面投影。

4．光滑连接相贯线上的点，此时要注意判断相贯线的可见性，补画遗漏的轮廓线。

圆柱与圆锥正交时也可以采用模糊画法表示相贯线，如图3-23所示。

图3-23　圆柱与圆锥正交时相贯线的模糊画法