绘制与识读机械图样中的基本几何体投影

项目二　基本几何体的投影

项目要求

在图纸上描述空间物体的形状用的是三视图。将物体放置到V、H、W三个互相垂直的投影面组成的投影体系中，用正投影的方法向三个投影面投射，得到三个视图，然后将三个投影面展平到一个平面上，这样就得到物体的三视图。三视图是表示空间物体形状的非常重要的方法和手段，要深刻理解三视图的形成和投影规律。

三视图的投影规律是“主视图和俯视图长对正、主视图和左视图高平齐、左视图和俯视图宽相等” ，这个规律是绘制图样和识读图样最基本的法则，必须牢固掌握。

绘制物体三视图采用的方法是“形体分析法”和“线面分析法” 。形体分析法是将复杂物体分解为几个简单的几何体，绘制完一个几何体的三视图之后再绘制下一个几何体的三视图。每个几何体都遵守“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律，而且几何体上的点、线、面也遵守这个规律。在利用形体分析法绘制三视图时，还要分析几何体上的点、线、面的投影，所以要理解点、线、面对投影面的位置关系及其投影规律。形体分析法和线面分析法是贯穿机械制图整个课程的基本方法，需要认真领会其原理和思维方法。

学习目标

☆　投影法的基本知识

☆　点、直线、平面对投影面的位置关系及其投影规律

☆　形体分析法和线面分析法绘制平面立体的三视图

☆　基本立体的三视图

任务2.1　投影法及三视图

任务引导

一、物体的投影

在日常生活中，物体在灯光或日光的照射下，在墙面或地面上就会显现出该物体的影子，通过影子能看出物体的外轮廓形状，但由于仅是一个黑影，它不能表现清楚物体的完整结构。人们对这种现象进行科学的抽象，总结出物体、投影面、观察者之间的关系，形成了投影法的概念。将投射线通过物体向投影面投射，并在投影面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法得到的图形称为投影。为了得到物体的投影，必须具有投射线、物体和投影面三个条件，其中投影线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影法和平行投影法，如图2-1所示。

图2-1　物体的影子和投影

二、中心投影

中心投影法的投射线自一点S发出，S称为投射中心。物体投影的大小取决于物体、投影面、投射中心三者之间的相互位置，如图2-2所示。中心投影法绘制的图形符合人的视觉习惯，立体感较强，但不能反映物体的真实大小，度量性差，在机械图样中很少采用，广泛应用于建筑、装饰设计等领域。

图2-2　中心投影法

三、平行投影和正投影

投射线为平行线时的投影称为平行投影。若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影，如图2-3所示。正投影的特性如下：

1．实形性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长） ；

2．积聚性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点） ；

3．类似性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，即凹凸性、直曲性和边数类似，但平面图形变小了，线段变短了。

图2-3　斜投影和正投影

四、三视图的形成

用正投影法所绘制的物体的图形称为视图。物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同形状物体的某一视图可能会相同，所以，一个视图不能准确的表达物体的形状（如图2-4所示） 。

图2-4　不同物体的一个视图相同

用互相垂直的两个平面作投影面，将物体向这两个投影面作正投影，这两个投影联合起来能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确的表达其形状，如图2-5所示，当矩形槽的宽度等于半圆槽的直径，深度等于半圆槽的半径时，两个视图相同。

为了精确判断物体的形状和大小必须采用多面投影，通常画出物体的两个或三个视图，每个视图表示物体的一个方面，几个视图配合起来就能全面、准确地表达物体的形状。

用互相垂直的三个面V、H、W作投影面，将物体向三个投影面作正投影，得到的三个视图称为三视图，三个投影面的交线称为投影轴，用OX、OY、OZ表示。三视图的形成过程如下：

1．将物体放入由V、H、W面组成的投影体系中，用正投影的方法分别得到物体的三个投影，在V面上的投影称为主视图，在H面上的投影称为俯视图，在W面上的投影称为左视图。

2．拿走空间物体，保持V面不动，将H面绕X轴向下旋转90°，将W面绕Z轴向后旋转90°，和V面展平到一个平面内。

图2-5　不同物体的两个视图相同

3．通常不画投影面和投影轴，根据图纸的大小调整三个视图的相对位置，即得到物体的三视图（如图2-6所示） 。

图2-6　三视图的形成

五、三视图的投影规律

因为主视图反映了物体长度方向（X方向）和高度方向（Z方向）的尺寸；俯视图反映了宽度方向（Y方向）和长度方向的尺寸；左视图反映了高度方向和宽度方向的尺寸。所以三个视图存在如下规律：

1．主、俯视图长度相等——长对正

2．主、左视图高度相等——高平齐

3．俯、左视图宽度相等——宽相等

“长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律，物体上的每一个形体、平面、直线、点都遵从上述规律（如图2-7所示） 。

图2-7　三视图的投影规律

六、三视图中图线的画法

可见的棱线和轮廓线用粗实线绘制，不可见的棱线和轮廓线用细虚线绘制，回转曲面的轴线、圆的中心线、视图的对称线用细点画线绘制（如图2-8所示） 。

图2-8　三视图中图线的含义

任务要求

分析图2-9中三个平面立体的形成过程（形体分析） ，根据其生成过程绘制三个平面立体的三视图，尺寸从轴测图上1∶1量取。

图2-9　平面立体的形体分析

任务解析

相关知识

一、图2-9（a）

首先对物体作形体分析，然后根据物体的生成过程从基础形体入手，由大到小逐步完成。所以，绘制三视图时要遵守下述两个顺序：

1．组成物体的基本形体的画图顺序。任何物体都是由一个基础形体，然后在基础形体上叠加或切割其他基本形体构成的。所以，绘制三视图时，要先画基础形体的三视图，然后按物体的形成过程，绘制基本形体的三视图，将一个基本形体的三个视图绘制完成后，再画下一个基本形体。

2．同一个形体三个视图的画图顺序。三个视图中要先画形状特征最明显的那个视图，然后根据“长对正、高平齐、宽相等”绘制其他两个视图。

初学者常常凭感觉画图，看到一条棱就画一条线，将一个视图画完了，其他两个视图还没有动笔，这样不容易将视图画正确，更不容易绘制复杂物体的三视图。

形体分析：此物体的基础形体是一个长方体，然后叠加一个侧板，侧板和长方体的右面对齐，再叠加一个后板，后板和长方体的后面对齐，最后在侧板上切去一角。

画图步骤（如图2-10所示） ：

1．画底板。注意布图，先画俯视图，后画主、左视图。

2．画右侧板。它与底板的前、后、右三面都共面，此三处无交线。

图2-10　三视图画图步骤

3．画后侧板。它与底板的后面共面，和侧板不等高。

4．画右侧板切角。要先画左视图，再画主、俯视图。

5．检查，擦去多余图线，加深完成全图。

二、图2-9（b）

形体分析：此物体的基础形体是一个“L”形立体，在左侧和下部各切去一个矩形通槽，再叠加两个三棱柱板。由主视图可知道长和高两个方向的尺寸，宽度方向的尺寸要从立体图上测量。

画图步骤（如图2-11所示） ：

图2-11　三视图画图举例

1．先画“L”形基础形体，高度和长度尺寸和主视图对齐，宽度尺寸从立体图上量取。

2．画左、下切槽，左侧切槽先画俯视图，下部切槽先画主视图。主视图上有的尺寸，不要从立体图上测量。

3．画三棱柱板，注意从立体图上测量尺寸时，必须沿X、Y、Z三个坐标轴方向测量，立体图上和三个坐标轴不平行的线段不反映实长。

三、图2-9（b）

形体分析：该物体是由一个长方体经四步切割而成，先切割一个长方体的槽，再用两个平面切去一个角，最后切去一个三棱柱角（如图2-12所示） 。

图2-12　形体分析

首先根据模型的大小和复杂程度选择合适的比例，再根据三个视图的大小选择图纸，将图纸固定在图板上，先打底稿，然后加深，打底稿时可先不分线型，均画成实线，底稿线要浅，以自己能看清即可。具体的画图步骤如下：

1．绘制长方体的主视图、左视图、俯视图。

2．再画切槽的俯、左视图，主视图。

3．画后面的切角，切角先画左视图，再画俯视图和主视图。

4．最后画前面的三棱柱切角，先画切角的主视图，再画俯、左视图。

需要特别注意的是，从轴测图上测量尺寸时，一定要沿投影轴方向测量，和投影轴不平行的棱线在轴测图上不反映实长。 （如图2-13所示）

图2-13　画图步骤

任务拓展

轴测图上尺寸的测量：轴测图沿X、Y、Z坐标轴方向的尺寸和物体的实际尺寸是相等的，而倾斜于坐标轴方向的尺寸和物体的实际尺寸是不相等的，所以在轴测图上测量尺寸时一定要沿X、Y、Z坐标轴方向测量。倾斜于坐标轴方向的尺寸要沿坐标轴方向测量端点的坐标。如图2-14所示。

图2-14　轴测图上尺寸的测量

任务2.2　认识点、直线、平面的投影(www.chuimin.cn)

任务引导

任何物体都是由面组成的，平面和平面相交产生直线段，直线和直线相交产生点。点、线、面是组成立体的基本几何元素，认识和理解点、线、面对投影面的位置关系及其投影规律，对绘制和识读三视图具有重要的意义，要引起足够的重视。

空间点的位置由X、Y、Z三个坐标确定。根据直线对投影面的位置关系分为三种情况： （1）垂直于一个投影面，平行于其他两个投影面——投影面垂直线。投影面垂直线在垂直于投影面上的投影积聚成一点，在其他两个投影为垂直于投影轴的线段时，该线段反映空间线段的实长。 （2）平行于一个投影面倾斜于其他两个投影面——投影面平行线。投影面平行线在平行于投影面上的投影反映空间线段的实长，在其他两个投影面上的投影为平行于投影轴的线段，但不反映空间线段的实长。 （3）和三个投影面均倾斜—— 一般位置直线。一般位置直线在三个投影面上的投影均为倾斜的线段，且均不反映空间线段的实长。

根据平面对投影面的位置关系也分为三种情况： （1）平行于一个投影面，垂直于其他两个投影面——投影面平行面。投影面平行面在平行于投影面上的投影反映空间平面的实形，其他两个投影面上的投影聚集成直线段。 （2）垂直于一个投影面，倾斜于其他两个投影面——投影面垂直面。投影面与垂直面在垂直于投影面上的投影聚集成直线段，其他两个投影面上的投影为空间平面的类似形。 （3）和三个投影面均倾斜—— 一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形。

任务要求

一、认识点的三面投影

二、认识直线对投影面的位置关系及其投影特点三、认识平面对投影面的位置关系及其投影特点

任务解析

相关知识

一、点的投影

空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：

1．当点的X、Y、Z坐标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内。

2．当点的X、Y、Z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上，特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y轴上，当按三视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴向后旋转落在YW轴上。

3．当点的X、Y、Z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。如图2-15所示。无论点在空间处于什么位置，其三面投影仍然遵守长对正、高平齐、宽相等的投影规律。

图2-15　点的投影

二、直线的投影

空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜（一般位置） 。

1．投影面垂直线。若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一个点，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且反映实长，如表2-1所示。

2．投影面平行线。若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、 H、 W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影垂直于相应的投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长，如表2-2所示。

表2-1　投影面垂直线

表2-2　投影面平行线

3．一般位置直线。一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角，如图2-16所示。

图2-16　一般位置直线

三、平面的投影

空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。

1．投影面平行面　若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行面，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线，且平行于相应的投影轴，如表2-3所示。

表2-3　投影面平行面

2．投影面垂直面　若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线和投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，其他两个投影面上的投影为类似形，如表2-4所示。

表2-4　投影面垂直面

3．一般位置平面　若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均为类似形，在投影图上不能直接反映空间平面和投影面所成的二面角，如图2-17所示。

图2-17　一般位置平面

任务拓展

如图2-18所示，已知物体的主视图和左视图，分析物体的生成过程，及物体上的平面对投影面的位置关系，想象物体的形状，补画出俯视图。

图2-18　三视图的识读

形体分析： 首先想象其基础形体，基础形体为长方体，由主视图上两条斜线知，在长方体上用两个正垂面切去左右两个角，由左视图上的斜线知，在长方体上用一个侧垂面切去上前方的一个角，最后切去一个矩形竖槽，竖槽和侧垂面产生了交线，如图2-19所示。

图2-19　形体分析

补画俯视图时，要先画长方体的投影，左右的切角，再画上前方的切角，最后画矩形竖槽，如图2-20所示。

图2-20　补画俯视图

任务2.3　绘制基本体的三视图

任务引导

基本几何体是组成复杂立体的几何元素，可分为基本平面立体和基本曲面立体。基本平面立体又可以分为棱柱和棱锥，常见的棱柱有三棱柱、四棱柱（长方体） 、五棱柱、六棱柱等；棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。基本回转曲面立体有圆柱体、圆锥体、球体、圆环等。

棱柱由上、下底面和侧面组成。棱锥由底面和侧面组成。回转曲面是由母线绕轴线旋转形成的，圆柱面的母线和轴线平行，圆柱体是由上、下底面和柱面组成的；圆锥面的母线和轴线相交，圆锥体由锥面和底面组成；球面的母线是半圆，轴线是半圆的直径，球体是由球面组成的实心球。

任务要求

一、如图2-21所示，分析棱柱上、下底面及侧面对投影面的位置关系及其投影特点。

图2-21　棱柱的三视图

二、如图2-22所示，分析三棱锥和四棱台的底面、侧面和侧棱对投影面的位置关系及其投影特点。

图2-22　棱锥和棱台的三视图

三、如图2-23所示，研究圆柱体、圆锥体和球体的三视图，并分析柱面、锥面和球面上点的投影特点。

图2-23　基本曲面立体的三视图

任务解析

相关知识

一、棱柱的三视图

图2-21（a）所示三棱柱的上、下底面是水平面，水平投影反映实形，V面和W面的投影是水平线段。左右侧面是铅垂面，水平投影积聚成一条直线段，V面和W面投影是类似形。后侧面是正平面，V面投影反映实形，水平投影和W面投影是直线段。

图2-21（b）所示五棱柱的上、下底面是水平面，水平投影反映实形，V面和W面的投影是水平线段。最右边的侧面是侧垂面，W面投影反映实形，水平投影和V面投影为直线段。其余四个侧面是铅垂面，水平投影积聚成一条直线段， V面和W面投影是类似形。

图2-21（c）所示六棱柱的上、下底面是水平面，水平投影反映实形，V面和W面的投影是水平线段。前后侧面是正平面，V面投影反映实形，水平投影和W面投影为直线段。其余四个侧面是铅垂面，水平投影积聚成一条直线段，V面和W面投影是类似形。

二、棱锥的三视图

图2-22所示三棱锥的底面△ABC是水平面，水平投影为△abc反映实形，V面和W面投影为水平直线段。后侧面△SAB是侧垂面，W面投影积聚成直线段，V面投影是类似形△s＇a＇b＇ 。左右侧面△SAC和△SBC均为一般位置平面，三个投影均为类似形。侧棱SC是侧平线，侧面投影s＂c＂反映实长，侧棱SA和SB是一般位置直线。

图2-22所示四棱台的上下底面是水平面，左右侧面是正垂面，前后侧面是侧垂面。四条侧棱均为一般位置直线。

三、基本曲面立体的投影

1．圆柱体的投影及其表面上的点

如图2-24所示，若圆柱体的轴线垂直于H面，则俯视图的可见轮廓为圆，这个圆反映了圆柱体上、下底面的实形，也表示圆柱面的俯视图；主视图的可见轮廓为矩形，矩形的上下两边为圆柱体的上下两底的投影，左右两边为圆柱面最左最右的两条素线的投影，这两条素线将柱面分为前半个柱面和后半个柱面，前半个柱面可见，后半个柱面不可见，我们把这两条素线叫做柱面对V面的转向轮廓线，该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最左点和最右点，侧面投影和轴线重合（不画） 。左视图的图形虽然和主视图相同，但其左右两条边的含义和主视图不同，这两条线表示柱面上最前最后两条素线的投影，即柱面对W面的转向轮廓线，该转向轮廓线的水平投影积聚到圆的最前和最后两点，V面投影和轴线重合（不画） 。

已知柱面上点M的V面投影m＇ ，M点的其他两个投影可以求出来。根据柱面的水平投影积聚成圆，所以M点的水平投影一定在圆上，又因为m＇可见（不可见时，用圆括弧括起来） ，所以M点的水平投影一定在前半个圆弧上，长对正即可求出M点的水平投影m。根据“高平齐”和“宽相等”即可求出M点的侧面投影m＂，因为M在左半个柱面，所以m＂可见。

2．圆锥体的投影及其表面上的点

如图2-25所示，圆锥体的投影和圆柱体的投影类似。俯视图为圆，这个圆表示圆锥体底面的实形和锥面的投影，锥面上任一素线的投影均为圆的半径。主视图和左视图为等腰三角形，主视图的两腰为锥面对V面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是正平线，水平投影是平行于X轴的半径，侧面投影和轴线重合（不画） ；左视图的两腰为锥面对W面的转向轮廓线的投影，该转向轮廓线是侧平线，水平投影是垂直于X轴的半径，V面投影和轴线重合（不画） 。

图2-24　圆柱体的投影

图2-25　圆锥体的投影

已知M点的V面投影m'，求M点其他两个投影的方法有两种：辅助素线法和辅助圆法，辅助素线法的原理是过锥顶和M点作一条素线，求出该素线的三面投影，M点的投影一定在该素线的投影上。作图步骤是如下：

（1）在主视图上，连接锥顶和m′并延长到底圆投影上。

（2）根据m′的可见性，求出辅助素线底圆上点的水平投影。本例因为m＇可见，所以辅助素线底圆上点的水平投影在前半个圆上，在俯视图上连接圆心和该点，得到辅助素线的水平投影。

（3）根据“长对正”和M点从属于辅助素线，求出M的水平投影m。

（4）根据“高平齐”和“宽相等”求出M的侧面投影m＂。

辅助圆法的原理是过M点在锥面上作一个辅助圆，求出该圆的水平投影，M的水平投影一定在该圆上。根据m′的可见性和和“长对正”即可求出水平投影m′，然后有m′和m求出m″。

3．圆球体的投影及其表面上的点

圆球体的三个视图均为圆，但这三个圆代表球体上三个不同方向的纬圆，是球面对投影面的转向轮廓线，这三个纬圆分别平行于三个投影面，如图2-26所示。

图2-26　球体

已知球面上一点M的V面投影m′，如何求出M的水平投影和侧面投影？可假想用水平面过M点将球面剖切成两个球冠， M点一定在球冠的圆上，圆的水平投影反映实形，画出圆的水平投影后，根据m′的可见性可求出M的水平投影，由水平投影和V面投影可求出侧面投影。

任务拓展

圆环体的投影：圆环面是由图2-27所示的母线绕轴线旋转形成的，母线和轴线在一个平面内。

图2-27　圆环面的母线和轴线

圆环体的三视图如图2-28所示，环面对V和W面的转向轮廓线是两个小圆及其公切线，对H面的转向轮廓线是连个同心圆。三个视图除绘制轮廓线外，还要画出母线圆的中心线、轴线和俯视图上圆的中心线。

图2-28　圆环体的三视图

图2-29是圆环面的应用实例，该回转曲面的母线是一段圆弧，回转体的侧面是圆环面，上、下底是圆。

图2-29　圆环面的应用实例