公司并购决策：资产组合和有效性分析

4　公司并购中的资产组合决策

4.1　公司并购的投资收益

4.1.1　投资收益率的概念

公司并购的投资收益率是指初始投资的价值增值程度，即一定时期内投入资本的期末价值与期初价值的差额加上资本持有期获得的其他收益额与资本期初价值的比率，若用R表示收益率，其计算公式为：

式中：K0为资本期初价值，K1为资本期末价值，E为资本持有期收益。

在公司投资活动中，投资收益确定的投资称作无风险投资，进行投资决策分析时以收益率为标准。由于实际投资活动中存在多期的投资收益率，决策时多使用平均收益率。而投资收益不确定的投资称为风险投资，进行投资决策分析时要以收益率和风险系数两个因素为标准。由于投资收益率受不确定因素的影响，决策时多使用期望收益率。以上收益率的计算公式，当并购双方公司均为股份公司时，用两公司股票各自在合并前后的价差与持有期收益计算；如果并购双方一方为非股份公司的，资本的期末、期初价值可用股权交易价格或通过资产评估确定；如果并购双方均为非股份公司的，考虑公司的资产持有期价值不发生变化，持有期收益即为净利润，则这一指标可转变为资产利润率评价。

4.1.2　平均收益率

随着时间的延续，公司投资活动中每期的投资额和收益都是不同的，因此存在着多期收益率。在无风险投资决策分析中常使用多期平均收益率作为优化选择的标准指标。计算平均收益率的指标很多，较常用的方法有算术平均法和几何平均法。

（1）算术平均法

假设报告期投资收益率为Ri，报告期期数为n，则投资收益率的算术平均值（）计算公式为：

（2）几何平均法

如果符号含义同前，则几何平均收益率的计算公式为：

如果有A、B两个股份公司进行并购，两公司合并前三年度内季度的收益率资料如表4-1所示，下面分别计算两公司收益率的算术平均值和几何平均值。

4.1.3　期望收益率

期望收益率是指在投资的未来收益不确定的情况下，考虑各种不同市场状况下收益发生的概率，所计算的未来可能实现的收益率。若用E（R）表示期望收益率，Pj表示不同市场状况发生的概率，则期望收益率的计算公式为：

表4-1　并购公司的平均收益率计算表

在统计学中通常用期望值代替平均值或预期值，即：E（R）= R。在实际计算期望收益率时，通常采用以下三种方法：一是根据历史资料，采用统计抽样的方法估算概率和状态收益率来计算期望收益率；二是收集事后一定时期、一定数量的收益率样本，将其根据收益率高低划分为若干段，用每段中收益率个数占总样本的百分比作为状态概率，每段中平均收益率作为状态收益率，然后计算期望收益率；三是收集能代表预测投资期收益率分布的事后收益率的样本，假定所有收集的样本具有相同的发生概率，用样本收益率和平均的发生概率计算的加权平均值作为期望收益率。下面采用第一种方法计算并购公司的期望收益率。

根据公司历史收益率资料，估计A公司年度投资收益率的可能范围在8%～16%，将其分为5个可能的收益率状态，用抽样或统计的方法在表4-2中计算并购公司的期望收益率。

表4-2　并购公司的期望收益率计算表

4.1.4　公司并购组合收益率

组合收益率是指公司并购完成后新公司的收益率，可用并购各方的期望收益率和并购各方所占股份的比例来计算。若用E（R）表示期望收益率，E（Ri）为第i家并购公司的期望收益率，Xi表示第i家并购公司在新公司中所占股份的比率，则并购公司期望收益率的计算公式为：

假如有一项公司并购活动，A公司通过发行股票收购B公司，两公司的期望收益率见表4-3，如果两公司合并后A公司和B公司的持股比例分别为60% 和40%，下面计算两个资本组合的组合收益率。

4.1.5　投资收益率的方差与均方差

在风险投资决策中，由于平均收益率和期望收益率都与实际收益率存有一定的差额，因此，仅考虑投资的平均收益率或期望收益率是无法进行有效决策

表4-3　公司并购资本组合的收益率计算表

的。如果用Rij表示第i个公司第j年度（月度、季度或交易日）的收益率，则称（Rij-）j为收益率的离差。由于平均收益率或期望收益率与实际收益率之间的差额具有大于0、等于0和小于0三种状态，即：

在进行投资决策时，如果i偏离Rij太多，也就意味着我们选择的评价指标与实际收益率的差额太大，因此，我们应尽量选择离差较小的样本进行平均或期望收益率的计算。由于收益率离差有负值，在进行求解平均离差时会有相互抵消的现象，所以习惯上先对这些离差的平方（Rij-）i求平均值或期望值，称为平均平方离差，简称均方差。用均方差来衡量一项投资的实际收益率与平均收益率或期望收益率之间的不确定程度，也称为风险度。关于风险度衡量问题将在第6章中专门讨论。如果用表示投资收益的均方差，n表示参加合并的公司个数，则计算公式为：

使用表4-3中的有关资料，应用（4-7）式计算并购公司收益率的均方差，有关计算结果见表4-4。

表4-4　资本组合的收益率均方差计算表（平均值法）

当收益率为期望收益时，用Pj表示第j种状态的期望概率，则均方差计算公式变为：

使用表4-2中的有关资料，应用（4-8）式计算并购公司收益率的均方差，有关计算结果见表4-5。

表4-5　资本组合的收益率均方差计算表（期望概率法）

4.2　公司并购的换股比率确定

4.2.1　换股比率的概念

换股比率是公司并购协议中的首要约定事项之一，这一比例的大小直接影响到并购双方的股东利益，也决定着合并公司中两公司的持股比例。换股比率是指在公司并购过程中确定的，目标公司的新定每股股票的并购价格与并购公司的股票价格的比率。若用P0表示目标公司股票定价，PA和PB分别表示并购双方公司原股票价格，用r表示换股比率，则有：

r=P0/PA　　　　　　（4-9）

目标公司的定价P0在实际并购过程中可能大于原股票价格PB，也可能小于PB，关于目标公司定价在后面专门讨论。换股比率确定后，合并双方的持股比例也就确定了。如果用表示B公司被并购后折算的持股股数，QA为A公司并购前的股票股数，QAB为两公司合并后的股票股数，则有：

（4-10）式与（4-9）式是等值的，换股比率虽然表现为并购双方公司股数的比例，但由于应向目标公司发行的新股票数是由双方公司的股票价格、收益率、技术水平、市场状况等各因素决定的，是并购双方公司股东博弈的结果。

4.2.2　换股比率的传统方法分析

在实际的公司并购活动，持股比例的确定是以并购公司双方的资产状况、赢利状况、市场状况、公司规模及对外影响等多方面的因素决定的。多采用在财务换算的基础上，双方领导之间的协商确定。这在理论上缺乏合理性和科学性。随着市场经济的发展，换股比率确定规范化的问题已经受到理论界和并购公司的广泛重视。研究科学、合理的换股比率确定规模已成为一个亟待解决的重大课题。为使换股比率的确定模型更符合于实际应用，首先应对我国传统的换股比率确定方法进行分析。

（1）净资产比率法

这种方法重视并购双方公司的资产价值，用双方公司在并购前一年底的每股净资产比例作为换股比率。每股净资产是公司期末净资产总额与普通股股数的比值，这一指标反映公司实有资产的状况。如果用ZA和ZB表示A、B两公司的期末每股净资产，则有：

r=ZB/ZA　　　　　　（4-11）

（2）股价比法

使用净资产比例作为换股比率在很多情况下是不合理的，由于两公司技术水平、折旧方法、经营实力等多方面的不同，净资产在很大程度上是不可比的，即使可比，也会存在高值低价的现象。因此，有些公司在并购后确定换股比率时，以评估价值之比作为换股比率。

（3）净值调整法

在采用以账面净资产之比作为换股比率时，要对净资产的实际额进行调整。主要以扣除账中虚增价值，并增加公司商誉价值为主要内容，以调整以后的每股净资产比值作为换股比率。

（4）每股收益比法

采用每股净资产、评估估价等，可以确定并购公司的实际资产水平，却不能反映两公司的赢利水平和市场状况。因此，在实际过程中采用两公司的每股收益之比作为换股比率。如果用EPSA和EPSB分别表示两公司的每股收益，则有：

r=EPSB/EPSA　　　　　　（4-12）

（5）预测每股收益法

采用并购公司当前期的每股收益作为计算换股比率的基本指标，没有考虑并购双方赢利额的预测增长率和相关风险等方面的差异，因此在很大程度上存在着不合理，为改变这种现象可采用预测每股收益法。如果用gA和gB分别表示两公司每股收益的预测增长速度，用n表示未来期的年限，其他字母含义不变，则换股比率可表示为：

4.2.3　L-G模型的分析

1969年10月的美国《会计评论》发表了克米特·D.拉森（KermitD.Larson）和尼古拉斯·J.戈内蒂斯（NicholasJ.Gonedes）合作撰写的文章题目是：“公司联合：一个换股比率确定模型。”这个模型放弃了EPS不被稀释的约束条件，以并购公司的股价作为持股比率进行研究，得出了有价值的结论。这一模型首先假设并购前A公司的股票市价为PA=εAEPSA，B公司并购前的股票市价为PB=εB EPSB，并购后联合公司的预期每股市价为PAB=εABEPSAB。如果并购当期不产生协同效益，则：

当PAB≥PA时，A公司的股东财务会有所增加，若取PAB=PA时，则有:

εAB［（EA+EB）/QA+rAQB］=εAEPSA，求得：

式中：εAB为变量，r与εAB为线性函数，即有：

由（4-15）式可知，r与εAB为正比例函数，则：r≤rA

同理，当rPAB≥PB时，B公司的财富不会因为并购而减少，即B公司股东可接受的最小持股比率为rPAB= PB，则有：rBεBEPSB，解得：

同理rB= F（εAB），> 0；而有：

其中：εA（BEA+ EB）为并购后公司总产值，εB EB为公司B当前价值，若有：εAB（EA+ EB）≤εB EB，会严重损害双方股东权益。必须有：εAB（EA+ EB）>εB EB且，则rB≤r≤rA。将函数（4-15）式和（4-16）式画在坐标系中，见图4-1：

图4-1　换股比率与市盈率的关系

故令r= rA= rB，并εAB=ε0=εA+

εB，可得当εAB=ε0时，合并后公司总价值为：VAB=εAB（EA+EB）=ε0（EA+EB）

令 εB，则有：VAB= VA+ VB

若VAB= VA+ VB，则r= rA= rB= PB/PA，若VAB>VA+VB，则：

所以，

同理：

如果A公司并购B公司，两公司的有关财务资料如表4-1。如果并购后预期市盈率为16，则有：

PAB=PA=64（元）

PAB=PB/rB= 30/0.441=68.027（元）

由于：rB=0.441≤r≤rA=0.625，则：

下面分别取0.441、0.50、0.625三个换股比率进行比较，比较结果见表4-6。

表4-6　不同换股比率的比较表

4.2.4　增长型换股比率模型的建立

分析以上的换股比率确定方法，主要以并购公司的净资产和收益率两方面的基本指标为基础，没有考虑公司并购后的协同效应、净资产或每股收益的非正常现象以及公司并购出现亏损的处理和并购风险等问题。当然，要在一个模型中考虑到所有的情况是很困难的，有时也是不可能的。由于公司各自的条件和特点不同，可采用考虑较为典型的情况，建立不同适用条件的模型供公司并购时选用。下面从与实际相结合的角度研究公司并购换股比率的确定模型。

首先分析每股收益增长模型，这个模型主要以每股收益为基本指标建立。为了合理确定公司并购的换股比率，首先从实例分析开始，研究换股比率与每股收益的关系。表4-7给出并购公司A和目标公司B的有关财务资料。

表4-7　并购公司财务资料

如果并购双方确定的目标公司每股收购价格为35元，则换股比率为35/64= 0.547，那么B公司的换股为：rQB= 35/64×2000000=1093750（股）。计算并购后

A公司的每股盈余为：（元）

B公司的市盈率为：35/2.5=14倍。如果把B公司市盈率提高到与A公司市盈率相等，则B公司的并购价格为：P0= 16×2.5= 40（元/股），此时换股比率为：r= 40/64= 0.625，B公司的换股量为= 2000000×0.625= 1250000（股），那么，合并公司的每股盈余为：（元/股）

此时，A公司的每股盈余没有被稀释。如果继续提高B公司的市盈率到18倍，使其超过A公司，则有：

P0= 45（元/股）；r= 45/64= 0.703；= 2000000×0.703= 1406250（股）

则此时的合并公司每股盈余为：（元）

如果降低B公司的市盈率，即低估B公司的价值，把市盈率降为10倍时，有P0= 10×2.5=25（元/股）；r= 0.391；= 781250（股），此时合并公司每股盈余为：

可见，提高B公司的市盈率会使换股比率提高，使B公司持股量增大，从而造成了公司并购后每股盈余降低；反之，则会使换股比率降低，B公司的持股量减少，而使公司并购后每股盈余提高。

通过以上分析，公司并购换股比率的确定模型应从每股收益增长的角度考虑。由于公司并购后的每股盈余EPSAB的变化取决于换股比率的变化，根据公司并购原理，并购后两公司的盈余额均应有所增长。B公司并入A公司后，由于公司并购的协同效益，并购后公司的利润总额会大于并购前两公司的利润之和。若设协同效益的增长率为g，并购前两公司的收益额分别为EA和EB，则公司合并后每股收益可表示为：

从（4-12）式中，可以解出r的表达式为：

同样可以在（4-15）式中解出EPSA的表达式为：

由以上分析可知，EPSAB与r为非线性函数，当r增大时（0≤r≤1），EPSAB下降；而EPSA与r为线性函数，当r增大时，EPSA也增大。因此，它们之间的关系可以用图4-2表示：

当r= 1时，意味着B公司的股票与A公司的股票按1∶1的持股比例交换，此时，合并公司的每股盈余为：

图4-2　每股收益与换股比率的关系

当r= 0时，意味着A公司无偿收购B公司，即B公司的亏损已导致其股票无价值。通过以上分析可以看出，公司并购的换股比率一般为EPSAB等于EPSA，先确定EPSAB= EPSA的换股比率，由（4-13）式得到:

由于0≤r≤1，当r= 1时，可求得g的最大值，即：

g的取值范围为：0≤g≤gH，当g= 0时，（4-17）式变为：

在实际过程中，r0的取值不取决于g，而主要取决于目标公司定价P0，当P0变化时，引起EPSB和EPSA的变化，从而使r0的取值上下波动。协同效益增长度只是一个调节指数。利用以上公式，计算本节开始分析时的举例可得到：

gH=（1- 0.625）/（2.5+ 0.625）= 0.12，即12%，此时r取值为1。当g= 0时，r0= EPSB/EPSA= 2.5/4= 0.625，此时，P0= 40（元/股），EPSA= EPSAB= 4（元/股），EPSB= EPSAB r= 4×0.625= 2.5（元/股），P0取值引起的EPSB和EPSA的变化前面已经分析了。结论是：P0降低，EPSA= EPSAB上升，EPSB下降，B股票被稀释；P0上升，EPSA= EPSAB下降，EPSB上升，A股票被稀释。

在实际分析过程中，EPSA= P0/，r= P0/PA，令EPSAB= EPSA，代入（4-12）式化简后得到：

式中：P0为目标公司每股定价，PA为A公司原股票价格，为选取P0后的B公司市盈率，εA为A公司市盈率。同样化简（4-15）式得到：

当g= 0时，公式化简为：，即在一个固定的并购实例中，r0和εA一般是固定的，则换股比率取决于，而取决于P0。仍以上例分析，r0= 0.625，εA= 16，则当P0变化时，改变市盈率，当取P0= 25元时，= 10倍，r= 0.391；当取P0= 35元时，= 14倍，r= 0.547；当取P0= 45元时，= 18倍，r= 0.703；当取P0= 50元时，= 20倍，r= 0.781。由此可见，P0的大小决定换股比率。

如果考虑并购若干年以后的每股收益变化，可设A公司的收益增长率为gA，B公司为gB，并购后协同收益增长率为gAB，则公司并购n年后的每股收益为：

当EPSAB=EPSA时，=EPSA（1+ gA）n代入上式，得到以下等式：

EPSA（1+gA）n=

化简后得到：

从（4-19）式中解出换股比率r，由下列等式：

同样可以推导出：A公司每股收益与目标公司定价P0之间的函数关系：

把（4-20）式化为换股比率与B公司的市盈率之间的函数关系有：

的变化取决于P0的变化，变化结果同前面的分析。

4.3　并购过程中资产组合的优化分析

4.3.1　两公司并购的资本组合分析

（1）公司并购资本组合的假设

资本组合是指投资者将不同资本按一定比例组合在一起作为投资对策，以减少或避免投资风险，获取最大收益的行为，包括股票、债券、房地产、金银、邮票、古币等。此处研究公司并购投资中的资本组合以股票形式分析为主，为了建立资产组合模型，有效进行投资分析，必须对资产组合理论作以下前提假设。

①期望收益率可知假设。即假设资本选择所需要的期望收益可以通过未来一定时期内的可能收益率统计平均取得，并且假设并购公司的资本收益率高于目标公司资本收益率。

②效用最大化假设。即资本组合追求的是在同等风险程度下，平均收益率最高的组合和在同等收益率条件下，风险程度最小的组合。

③风险收益假设。即认为公司的资本收益率是随市场的变化而变化的，收益的取得是有风险的，收益率为风险收益率。不作无风险收益假设，也不作无风险投资分析。

④股票交易假设。即假设并购公司和目标公司均为用股票来表示资本大小的股份制公司，股票是等值的，其市场价格是资本质量的真实反映。

（2）持股比例的确定

前面已经分析，公司并购是一种投资行为，公司并购的过程是两个公司合并，公司内部的资产重新组合形成一个新的公司的过程。要进行公司并购资产组合选择，首要的问题是确定合并公司双方的持股比例。它是指并购公司双方通过并购活动实现合并后，双方在新公司中所占有的股权比例。当然，持股比例应主要取决于并购前双方公司的盈利程度（一般选择每股盈余指标）、股票价格和市盈率。但在实际过程中表现为公司并购中双方股东博弈定价所确定的换股比率，这个比率的确定将在目标定价一节中进行研究。在两个公司并购的过程中，持股比例的集合由并购公司（A）与目标公司（B）在新公司中股权比例构成。如果用QA、QB分别表示并购前两公司的股票数量；PA、PB分别表示两公司股票的价格；若用KAB表示两公司合并后股票的换股比率，则两公司合并后的持股比例HA、HB分别为：

由（4-29）式可知，HA+ HB= 1，这是由集合概念决定的。在公司并购决策过程中并购双方公司在合并公司中所占的比重最终取决于股票换股比率和两公司合并前原有股票数量之比。如果在以上的分析中两公司的换股比率为0.6，A公司股票股数为4000万，B公司股票股数为3500万，那么，便可很容易地求出两公司的持股比例。

由于KAB= 0.6，QA= 4000万股，QB= 3500万股，那么，根据（4-29）式可得：

（3）资产组合的收益与风险

仍以A公司收购B公司为例进行分析，收益率的资料见表4-2。已知并购公司A公司的期望收益率E（RA）= 13.2%，目标公司B公司的期望值为E（RB）= 6.3%。根据上面的计算结果HA= 0.656，HB= 0.344。因此，将A、B公司的资本组合得到期望收益率为：

EAB（R）= HAE（RA）+ HBE（RB）　　　　　　（4-30）

在收益率一定的情况下，当持股比例发生变化时，可得到两合并公司的资本的各种收益率组合。使用表4-5中资料，应用（4-30）式，计算上例的组合收益率为：0.656×6.5%+ 0.344×3.5%= 5.468%。

以上分析解决了两种资产组合的平均收益率计算问题。但要选择出两资产的有效组合还必须要求解两资产组合的收益率均方差。根据计算公式有：

（4-31）式中，E称为两组合资本收益率离差之积的期望值或平均值，在统计学中称为协方差，用COVAB表示，即有：

当RAj与RBj相互独立时，有E（RAjRBj）= E（RAj）E（RBj）= RA RB，即COVAB= 0；当RAj= RBj时，COVAB= E- E2（RAj）；当RAj≠RBj时，COVAB≠0。这样，两项资本组合的收益率均方差计算公式化简为：

由以上分析可知，计算资本组合的收益率均方差是比较困难的。不仅要知道并购公司双方在合并公司中持有的股权比例HA、HB，还要知道各资本在合并前可能的实际收益率RAj、RBj，以及平均收益率A、B。当Aj-A与

Bj- B同时大于零或同时小于零时，意味着两项合并资本同时呈现出超过或低于平均收益率的收益结果，因此，COVAB> 0导致增大；当两项合并资本的收益率离差符号相反时，意味着其中一项资本的收益率离差为正，而另一项资产的收益率离差为负，从而使COVAB< 0，导致减小。由此可见，协方差实际上反映着两项组合资本收益率组合结果的变化特性。两项组合资本的收益率结果出现相近的情况，协方差的数值就增大，两项资产的互动性也越强，风险随之增大；如果两项资产的收益结果出现了相反的情况，协方差就小于零，两资产的互动性减弱，风险随之降低。为了反映组合资本收益率变化情况的相互影响，给出收益率相关系数，其计算公式为：

根据数理统计理论的知识≤1，为此我们分析两资本组合的收益率相关情况。

①rAB=+1时，表示两项资产收益率结果完全正相关，即两资产收益率结果的变化方向是相同的。

②rAB=-1时，表示两项资产组合的收益率结果完全负相关，即两资产组合的收益率结果的变化方向是相反的。

③rAB= 0时，表示两项资产组合的收益率变化无相关结果，即不存在相关的关系，也称不相关。

④-1< rAB< 0时，表示两项资产组合的收益率变化结果呈现负相关的关系，即资产组合会降低总收益率，使风险增大。

⑤0< rAB< 1时，表示两项资本组合的收益率变化结果呈现一般性的正相关关系，即两项资本组合的收益率变化结果表现出虽然变化方向相同，但也有抵消的现象。

由于相关系数的数值变化范围为［-1，1］，易于确定，可通过查相关系数表得到。因此，在实际公司并购的资本组合选择过程中，可用相关系数代替协方差，即令rAB= COVAB，因此，资本组合的收益率均方差和标准差的计算公式可以简化为：

当rAB=1时，σAB=HAσA+HBσB，即有：

可见，只要不等于1，资本组合的收益率标准差总是小于单项资本收益率标准差的加权平均，即除rAB= 1的情况，资本组合总是有利于减少投资风险的。

下面使用表4-5的资料计算资本组合收益率均方差和标准差。由于：

（4）两公司资本组合的优化选择

应用以上方法可以求得按任意持股比例的两公司资本组合的期望收益率和期望收益率标准差。所有这些不同的持股比例组合构成一个集合。如果以各种资本组合的标准差σ为横坐标，以期望收益率E（R）为纵坐标建立直角坐标系，在直角坐标系中描述出A、B两并购公司不同持股比例组合下收益率与标准差之间的运动轨迹，见图4-3。

图4-3　收益率与标准差的关系图

从图4-3可以看到，连接A、B两点的曲线是资本组合收益率与标准差的关系线，通过适当选择资本A、B的持股比例，就可在曲线上找到相应的收益与风险的组合。在A、B构成的所有组合中，C点是标准差最小时与收益率的组合，可视为最小风险组合。由于资产组合理论是建立在追求效用最大化假设前提下的，因此，投资者的投资组合选择区域为C到A，曲线CA称为资本组合的有效区间，也称有效资本组合。

4.3.2　多公司并购的资本组合分析(www.chuimin.cn)

（1）三公司并购的资产组合分析

三公司并购是指两个主并购公司联手收购或兼并一个目标公司，或者一个主并购公司同时或顺次并购两个目标公司。紧接着上节的分析，有关假设和字母含义不变，设三个公司为A、B、C，三公司在合并公司中的持股比例分别为HA、HB、HC，平均收益率表示为Ω，Ω表示一个集合，则有：

RΩ=E·（HA·RAj+HB·RBj+HC·RC）j

=HAE（RA）j+HBE（RB）j+HCE（RC）j

同样，用表示三项资本组合收益率的协方差，则计算公式表示为：

因为：

若在两公司并购资产组合的基础上增加C公司的资料，即E（RC）= 5.6%，σC= 7.5%，相关系数rAC= 0.156，rBC= 0.468，三公司持股比例分别为：HA= 0.4、HB= 0.35、HC= 0.25，则三资本组合的平均收益率和收益率标准差为：

RΩ=0.4×6.5%+0.35×5.6%+0.25×3.5%=5.435%

上面只给出了三项资本的一种组合，改变三项资本的比例就可得到许多不同的期望收益率与风险的资本组合，所有这些组合构成一个集合，这个集合是平面上的一个区域。

（2）多项资本的组合分析

在公司并购中，多项资本的组合是指几个主并购公司联合收购一家或几家目标公司，或一家主并购公司收购或兼并多家目标公司。假设条件和字母含义同前，根据以上的分析可以确定几项资本组合的平均收益率和均方差计算公式如下：

式中：COViK= E［（Rij- Ri）（RKj- RK）］，n为组合资本的数目，m为收益率的样本数或状态数。对于公司并购来说，过多数量的资本合并在一起是一种趋势，但一般不会同时发生，即很少发生多公司并购一公司或多公司的现象。一个公司同时并购多个目标公司的现象也不多见。因此，关于多项资本的组合分析不再作深入研究。如果考虑收益率的约束，则可以转化为求下列数学规划问题：

构造拉格朗日函数为：

对拉格朗日函数中持股比例求导，可求出在以上限定条件下的最优持股比例，本书不作深入分析。通过以上分析，对多公司混合并购中的资产组合问题，在最小风险组合下持股比例的确定是一个二次规划问题，数学表达式为：

针对（4-40）式构造一个拉格朗日函数对Hi和λj求导并令其等于零，便构造了一个n元一次线性方程组，利用计算机程序便可求得相应的Hi组合结果。

4.3.3　公司并购中资本组合的优化

（1）资本组合模型构建的基本假设

资本组合是指投资者将不同资本按一定比例组合在一起作为投资对策，以减少或避免投资风险，获取最大收益的行为。公司并购中的资本组合则是指公司并购后并购公司资本与目标公司资本的组合，是资本组合的一种特殊形式。为了建立公司并购的资本组合模型，以有效进行投资分析，首先作以下几方面的理论前提假设：

①期望收益率可知假设。即假设资本选择所需要的期望收益可以通过未来一定时期内的可能收益率统计平均取得，并且假设并购公司的资本收益率高于目标公司资本收益率。

②效用最大化假设。即资本组合追求的是在同等风险程度下，平均收益率最高的组合和在同等收益率条件下，风险程度最小的组合。

③风险收益假设。即认为公司的资本收益率是随市场的变化而变化的，收益的取得是有风险的，收益率为风险收益率。不作无风险收益假设，也不作无风险投资分析。

④股票交易假设。即假设并购公司和目标公司均为用股票来表示资本大小的股份制公司，股票是等值的，其市场价格是资本质量的真实反映，并且假设并购双方均为上市公司。

⑤并购活动单独进行假设。即公司并购活动是一对一进行的，不研究一个公司收购多个目标公司以及多个公司收购一个目标公司或多个目标公司的并购行为，当出现上述并购行为时，假设并购活动是逐一进行的。

以上假设是研究公司并购中资本组合问题的基本假设，不可能解决所有的问题，如果以下研究以上述假设或超出研究问题的假设范围，应做出相应的说明。在此理论前提假设的基础上，下面研究公司并购的资本组合模型。

（2）上市公司并购的资本组合中相关系数的优化选择

以上利用收益率理论和方差理论确定了公司并购过程中两公司资本合并的期望收益率和收益率标准差的计算公式，应用以上方法可以求得按任意持股比例将两公司资本组合的期望收益率和期望收益率标准差，为公司并购中资本组合的优化打下了基础。公司并购资本组合的优化分析，可以在风险程度不变的情况下，确定收益率最高的资本组合；也可以在期望收益率不变的情况下，确定风险程度最小的资本组合。由于投资组合的主要目的是降低风险，因此本书主要研究风险中性条件下公司并购资本组合的换股比率和持股比例的优化问题。要解决以上两个优化命题，首先必须要对模型中关键指标，即公司并购收益率标准差计算公式中的相关系数进行优化选择。根据以上分析的结果，由于HA+ HB= 1，将其转化为HB= 1- HA，代入（4-40）式便可以得到：

根据以上分析可知：1≤rAB≤1，下面分析rAB的几种特殊取值以寻找相关系数与收益率之间的关系，进而进行优化选择。

①rAB= 1的情况。将rAB= 1代入（4-41）式进行化简，然后利用联立方程将其中的持股比例HA消掉，可以得到下式：

由此可见，当rAB= 1时，期望收益率E（RAB）与标准差σAB之间是线性关系，详见图4-3中最右边的直线，它是rAB= 1时，两资本的全部线性组合。

②rAB= 0的情况。将rAB= 0代入（4-41）式进行化简，然后利用联立方程将其中的持股比例HA消掉，并令M= E（RA）- E（RB），δAB=σA-σB，可以得到下式：

可见，E（RAB）与σAB之间为非线性方程，从这一方程中可以解出当rAB= 0时两公司资本的全部组合，将二者之间的关系在直角坐标系中画出可以显示出二者之间的运动轨迹，详见图4-4中位于中间的曲线。

图4-4　上市公司并购收益率与标准差关系图

③rAB=-1的情况。同样，将rAB=-1代入（4-41）式进行化简，然后利用联立方程将其中的持股比例HA消掉，可以得到以下方程组：

可见（4-44）式是关于E（RAB）与σAB的两条直线，将二者之间的轨迹画在直角坐标系中，具体趋势详见图4-4中rAB=-1的情形。

上图中E为A公司资本占100%时的期望收益率，E为B公司资本占100%时的期望收益率，E为风险最小时的期望收益率，其他字母的含义同上。连接A、B两点的曲线是资本组合收益率与标准差的关系线，通过适当选择A、B两公司的持股比例，就可在曲线上找到相应的收益与风险的组合。在A、B构成的所有组合中，O点是标准差最小时与收益率的组合，可视为最小风险组合。由于资本组合理论是建立在追求效用最大化假设前提下的，因此，投资者的投资组合选择区域为O～A，线段OA称为资本组合的有效区间，也称有效资本组合。按照风险中性原则，两公司资本的最小风险组合是由资本组合收益率标准差的最小值确定的，其收益率并不高，但资本组合收益率标准差的最小，意味着两公司通过并购成为一个公司后的初期，需要有一个整合阶段，在这个阶段，选择最小风险组合，有利于合并公司的尽快恢复。因此，从相关系数的角度分析，应选择rAB= 0的状态进行下一步的优化分析。

（3）公司并购资本组合中换股比率与持股比例的优化选择

相关系数变化对资本组合的影响分析为投资提供了收益率与风险程度关系的变化趋势。不同投资者可根据这种趋势来进行收益率与风险适当的投资组合。下面研究当投资者确定了所能承担的风险程度以后，应投入资本所占的比重为多少，才能使公司并购的资本组合达到平均收益率组合为最优的问题。公司并购中两资本的最小风险组合是由资本组合收益率标准差的最小值确定的，其收益率并不高，因此，其经济性并不一定好。但资本组合收益率标准差的最小，意味着两公司通过并购成为一个公司后的初期需要有一个整合阶段，在这个阶段，选择最小风险组合有利于合并公司的尽快恢复。根据（4-41）式，将HB= 1- HA代入，并令KAB= QB/QA，化简后得到：

要确定标准差最小时的换股比率和并购双方的持股比例，可对（4-44）式中的λ求导，并令其等于零，从而确定最小风险组合时的持股比例为：

由（4-46）式可以看出，两公司收益的相关系数对换股比率的影响很大，一般情况下两公司的收益多呈现不相关或负相关，关于相关系数的变化范围，本书不作深入探讨。根据以上分析可以得到最优的持股比例表达式为：

以上利用风险中性的原则确定了公司并购中，并购公司和目标公司资产组合的期望收益率模型、标准差模型、换股比率的优化模型和最优持股比例模型，为公司并购中的资产优化组合提供了一种行之有效的分析方法。

（4）应用实例分析

为说明以上模型的应用，选择A、B两个上市公司，按照我国上市公司的有关规定，股票面值均为每股1元。根据上市公司的年度财务报告，A公司发行股份总数为12000万股，B公司发行股份总数为6000万股，A公司从2003年开始对目标公司（B）实施并购调查，根据调查的结果，两公司合并前三年的收益率统计资料见表4-8。

表4-8　并购公司与目标公司期望收益率与标准差计算表

根据以上的计算结果，两公司的收益率分别为：E（RA）= 10%，E（RB）= 4.55%；收益率的标准差分别为：σA= 0.0839%，σB= 0.126%；相关系数取rAB= 0，当A公司并购B公司时，试确定两公司最优的换股比率和持股比例。应用上面确定的相关公式，首先应用（4-47）式和给定的资料确定最优的换股比率为：

确定了优化的换股比率以后，就可以应用（4-47）式确定最优的并购公司和目标公司的持股比例，两公司最小风险组合时的持股比例分别为：

因此，两公司并购后资本最小风险组合的持股比例为A公司69.29%、B公司30.71%，最小风险组合时平均收益率为：

E（RAB）=HAE（RA）+HBE（RB）= 69.29%×10%+30.71%×4.55%≈8.3263%

上市公司并购时的资本组合分析是一项很有意义的研究，以上只对两上市公司并购的情况进行了组合及优化研究，确定这一并购事项最优的换股比率为0.8865，优化的持股比例分别为69.29%和30.71%，公司并购后相应的期望收益率为8.3263%。应用这种思路还可以对多公司并购进行资本组合及优化分析，也可研究在收益率最大时的资本组合及优化问题。

随着我国上市公司的发展和竞争程度的加深，并购必将会成为公司资本运营的主要手段，公司并购中的资产组合以及在资本组合基础上的换股比率和持股比例的优化选择，必将是公司并购选择以及并购后整合的一项重要基础工作。本书主要从公司并购的资本组合分析开始，研究了公司并购后两公司的持股比例确定，进而对投资收益及风险进行了分析，在此基础上建立了两公司并购和多公司并购的资本组合模型，并对资本组合中的换股比率和持股比例进行了优化选择分析，为上市公司的并购分析提供了一种行之有效的定量手段，也对减少上市公司并购的失败率，提高上市公司并购的效益和效率等具有一定的促进作用。

4.4　公司并购经济规模的确定

4.4.1　规模经济理论

（1）规模经济与公司并购的关系

规模经济是指公司通过大量生产和销售，实现成本下降与收益增加的过程。它是一个动态的概念，是市场经济条件下公司从事生产经营活动追求的目标。穆勒是最早研究规模经济的专家之一，他在其代表作《政治经济学原理》中系统地论述了大规模生产和小规模生产的问题。马克思在研究资本的剩余价值规律过程中也系统阐述了经济规模问题，后来马歇尔发展并完成了对规模经济理论的系统表述。随着资本主义资本扩张的加剧，一些新的规模经济理论不断产生。归纳规模经济理论，可以分为三种产生类型，即以成本最低为准则的规模经济研究、以利润最大化为准则的规模经济研究和以效率最大为原则的经济规模研究。

经济规模理论是在研究微观公司生产经营问题中产生并发展起来的，发展的趋势是随公司规模的扩大，呈现成本降低、经济效益和效率提高的趋势。由于在市场经济条件下，公司生产规模的扩大主要有资本积累和资本集中两种途径。资本积累是靠自身获利再投资实现生产规模扩大；资本集中则主要是通过资本并购实现的。而且在公司生产规模扩大的两个途径中，资本集中是主要途径，资本积累越来越表现出在生产规模扩大中辅助途径的地位。公司并购作为公司资本扩大的主要形式，是由于它具有快速、高效、协同效应等多方面的优点。因此，公司规模经济主要是通过公司并购来实现的。而从公司并购动机方面考虑，在众多的并购动机中，追求公司经济规模的扩大是一个重要的内在动因。正是由于公司规模经济与公司并购中的这种相互联系、互相促进、互相制约的辩证关系，才使得公司之间的竞争日趋激烈，公司并购逐步升级，公司规模不断扩张。

从理论上讲，公司规模经济是指公司生产经营趋于平均成本或单位成本最低、经济收益最大及经济效率最高的一种状态。当经济规模达到三种标准的某一状态时称为最优经济规模，并相应成为最低成本规模、最大收益规模和最高效率规模。

总之，规模经济与公司并购的关系可以表述为：公司并购是实现公司规模经济的途径或手段；公司经济规模是促使公司并购的内在动因。

（2）单位成本最低时生产规模的确定

在经济学中，总成本函数一般表述为TC= f（x），x为生产量，总成本与生产量之间的函数关系可以是线性关系，也可以是非线性关系。线性总成本函数的一般式为：f（x）= F+ Vx，F为固定成本，V为单位变动成本，非线性总成本函数的一般式为：f（X）= F+ V1x+V2 x2。因此，总成本函数无论线性还是非线性都是增函数。而对于单位变动成本来说，用函数表示为：= g（x），在实际分析过程中，线性函数常表示为g（x）= a- bx，而非线性函数常表示为g（x）= a-，或者g（x）= a- bx-1，把非线性函数可画在图4-5中。

图4-5　单位成本变化趋势图

从图4-5中可以看出，单位成本函数是分段减函数，随产量的增加呈下降趋势，当生产量达到X0时成本最低，超过这个产量单位成本就开始上升，这就是单位成本最低的规模经济。根据以上的分析，总成本函数为：TC= F+ V1 x+

V2x2，化为单位成本函数时有：g（x）=+ V1+ V2x，则g′（x）=-+ V2，令g′（x）= 0得到单位成本最低时的最低生产规模为x=　姨F/V2。

（3）最大收益规模理论

是最佳经济规模的一种形式，它是指在生产条件一定的情况下，利润最大时的生产能力。最佳经济规模原理最早由英国剑桥学派的经济学家罗宾逊（E.A. G.Robinfon）在他1931年出版的著作《竞争产业的结构》一书中提出并应用分析方法，如图4-6。

图4-6　规模经济示意图

图中S（x）为销售收入函数，f（x）为总成本函数，L（x）为利润函数。由图4-6中可知：但产量达到X0时利润达到最大，此时的生产量为最佳经济规模。根据实证的结果，利用成本最低求得的最优生产量和利用利润最大求得的最优产量一般是不相等的。

（4）最大效率规模理论

是在多指标或多状态情况下，谋求平均期望值最大的规模，它不以单一指标或状态的最大为依据，而是考虑多种状态或多个指标综合影响的结果。一般情况下，效率最大与风险最小相伴随。在效率最大原则下，有时会与成本最低或利润最大的原则相矛盾。日本经济学家末松教授在他1968年发表的“不同规模经营分析”一文中，分析了日本银行职工人数与机械投资效率之间的关系，得出了随人员增多投资效率下降的结论。

随着市场经济的发展，最小平均成本规模和最大利润规模都暴露了许多弊端，最大效率规模理论越来越受到人们的普遍重视，但这种理论目前还不够完善，还需要进一步的研究，形成比较成熟的理论体系。

（5）适度经济规模的确定

从最佳经济规模的分析中可以看出，最佳经济规模只是一个点，在实际生产过程中是很难确定的，而且随着生产经营环境的变化和生产技术的提高，这个最佳经济规模点也是动态的，处在不断变化中。因此，公司确定最佳生产规模是一个过程。而且生产规模也不是越大越好，越过最佳经济规模以后，再增加规模，效益不但不会提高，反而还会下降。关于对适度经济规模的研究已形成了许多著名的理论，较有名的有：

①马克西—西尔伯斯通曲线，即G.马克西和A.西尔伯斯通通过对汽车生产公司的分析发现：当产量在0.1万～5万辆时，单位成本降低40%；5万～10万辆时，单位成本降低15%；10万～20万辆时，单位成本降低10%；20万～40万辆时，单位成本降低5%；超过40万辆时，单位成本降低速度减缓；达到年产量100万辆后，加大产量就不能降低单位成本了，即规模经济消失了。

②斯蒂格勒的“适度生存法”是在两个时点计算各产业各规模层的增长指数，并计算附加价值的比重，新产业增长指数最高的规模层就是该产业最佳的公司规模。

③生产函数法，是指生产过程中投入的生产要素与产品的产出量之间的关系等式。若用xi表示生产要素，则一般表达式为：

Q= f（x1，x2，…，xn）　　　　　　（4-48）

20世纪30年代，美国数学家宜布和道格拉斯研究了1899～1922年美国的资本和劳动力两要素与产量之间的关系，建立了著名的C—D生产函数，表达式为：

Q= ALαKβ 　　　　　　（4-49）

式中：Q为总产量，L为劳动力投入量，K为资本投入量。

A、α、β均为常数，且0<α< 1，0<β< 1

如果生产函数Q= f（L，K）为奇次生产函数，当劳动力和资本由L和K分别增加到λL和λK时，则有：

f（λL，λK）=λn Q=λnALαKβ 　　　　　　（4-50）

式中λ> 1，n> 0，则有：

公司规模过小，应扩大生产规模，公司规模过大会造成规模不经济，应减小生产规模。只有当规模报酬不变时，才是公司的最佳生产规模。

④长期平均生产成本法LAC，表示公司在长期中各个产量水平的单位最小成本，用公式表示为：

LAC= LTC/Q　　　　　　（4-51）

式中：LTC为长期总成本，Q为生产量。如果公司有三个可能的生产规模，其短期平均生产成本曲线为：SAC1、SAC2和SAC3，见图4-7。

图4-7　短期生产成本与长期生产成本之间的关系

则规模1存在规模经济性，需要扩大生产规模；规模3出现了规模不经济，规模2为适度公司规模。

4.4.2　公司并购的合理生产规模选择

（1）适度交易规模的选择

是指在一次并购活动中，并购公司一次收购或兼并目标公司的资本数量的大小。一次交易量的大小取决于并购公司的生产规模、资本状况、获利水平、估价高低、领导能力以及并购所支付的成本等。从低标准考虑，一次交易的最小规模至少应与并购公司在评估、达到交易并完成交易过程中所付出的努力相适应。根据国外发达国家的公司并购经验，最小的交易规模应至少达到并购方公司市值的5%～10%。例如一家1.2亿元股票市值的并购公司，在寻找并购对象时，并购对象的最小收购价值应在600万～1200万元。

较大规模的收购其风险较大，在选择目标公司时不要太性急，要充分地了解对方，并注意分析各种限制条件，寻找合适的并购机会。

①支付能力。支付方式有现金收购、发行股票收购和杠杆收购三种选择。三种方式各有优点，适应不同的情况，一般认为现金收购具有较厚的利益空间，在资金充足的情况下应首先选择这种方式。这就需要计算可用于收购的最大资金数量，如果资金不足，应提前筹资或配合发行股票收购。在收购支付过程中，并购公司支付有以下几种选择：

（a）使用自有资金和公司合并后的可动用资金。包括：资本公益、盈余公积、未分配利润、生产经营不需要的有价证券以及公司合并后目标公司的自有资金、有价证券等。

（b）向银行借款。是公司筹资的常用方式，银行借款的成本较低，只要公司有较好的信用或具有抵押，可方便取得借款。如果以目标公司作抵押，还可进行杠杆收购。

（c）发行股票收购。核定好目标公司的价值后，采用向目标公司发行股票的方式换取对方股票或资产。采用股票收购要合理确定收购价格。

（d）发行“垃圾债券”（Junk Bond）。是西方国家的公司为筹集并购资金，以高利率或其他手段发行的在证券市场上信用等级较低的高风险债券。它是由德雷克塞尔·伯纳姆公司（Drexel Burnham）的兼并部主任米尔肯（Milken）首先提出并发行的，曾在美国并购市场上一度活跃。1986年，华尔街兼并大王科尔伯格·克拉维斯·罗伯茨公司以62亿美元兼并一家股价价值仅有4.2亿美元的食品公司——比阿特里斯公司（Beatrice），其中有25亿美元是由德雷克塞尔公司发行的高风险债券。到80年代中期，美国发行垃圾债券已达3000亿美元。目前我国不允许发行垃圾债券，随着证券市场的发展和公司并购的加剧，可能有一天会开放垃圾债券市场。

②管理层的经验。收购一个公司是为了使其尽快成为合并公司的获利热点。这需要管理者的经验，如果管理者经验丰富，会尽快把目标公司整合为达到或接近并购公司的管理水平，生产效率、销售增长和获利能力等也会有较大的提高，接近并购公司。反之，不仅不会促进合并公司的发展，而且，还极可能会拖垮并购公司。

③风险承担意愿和能力。公司并购是一项高风险的投资，并购公司应做好充分的准备，提高抵御风险的能力。这是并购公司综合能力的体现，既要有实力，又要有经验。

（2）公司并购合理生产规模的确定

公司并购的过程是一两个公司资本合并和人员合并的过程。在两个公司没有合并之前，各自在特定的生产经营条件下运营，两公司合并后，在整合的过程中就有一个管理较差的一方向管理较好的一方转化，生产效率低的一方向生产效率高的一方转移，利润率低的一方向利润率高的一方转移等，即公司并购具有协同效应。为分析并购公司在进行收购公司的过程中如何确定适度规模范围和最佳生产规模，下面通过实例分析开始。

如果A公司并购B公司，两公司生产同种产品，并且是只生产一种产品，并购前6年的有关财务资料见表4-9。

表4-9　并购双方产量及生产要素表

分析以上两公司产量和生产要素，设两公司的生产函数分别为：

先来确定A公司的生产函数，把函数关系式变为lnQ1= lnA1+α1 lnL1+ β1 lnK1，则转化为二元一次函数，转化表4-9中的资料得到表4-10。

表4-10　A公司生产函数预测资料表

由表4-10数据，应用线性回归预测方法求得：α1= 0.358，β1= 0.180，lnA1 = 3.580，其中A1= 35.87，σ2= 0.94，其中σ2为相关系数，则原预测方程为：

上面求出了公司并购前两公司各自的生产函数，下面来分析两公司合并后的生产函数。设生产函数表达式为：Q12=，式中各要素表示两公司合并后的数值，根据表4-1的资料计算两公司合并后的资料如表4-11。

用上述相同的方法求得生产函数为Q12= 0.054×L

由于公司并购具有协同效应，则在进行两公司合并后的预测时采用预测函数为：i= Q12（1+ KQ），其中KQ为产量协同效率系数，这一系数的大小因合并公司双方情况的不同有较大差别。各公司可根据实际情况选择，一般的选择范围为0.05～0.2。以上分析考虑两公司生产相同产品且仅有一种产品，属于横向并购，如果生产多样产品的横向并购以及纵向并购和混合并购等，可采用总产值函数或销售收入函数。

表4-11　两公司合并后产量及生产要素表

根据规模经济理论和以上建立的生产函数，下面确定适度生产规模，主要分以下内容：

由于α1+β1< 1，则规模报酬递减，应减小生产规模。

由= 0.335，得到最优生产函数为：

Q1= 35.87×

②Q2= 0.454×，α2+β2= 1.372

由于α2+β2> 1，则规模报酬递增，应扩大生产规模。

由= 0.384，得到最优生产函数为：

Q2= 0.454×

③Q12= 0.054×， α12+β12= 1.708

由于α12+β12> 1，则规模报酬递增，应扩大生产规模。

由= 0.796，得到最优生产函数为：

Q12= 0.054×，

12= Q12（1+ KQ），求出α12+β12= 1时，

式中：W1为劳动力的价格，W2为资本的价格。当W1= 185，W2= 111，KQ= 10%，Q12= 911，L12= 274，K12= 440时，L= 4817，K= 98000，所求即为最佳生产规模下，合并公司应投入的资本与劳动力的数量。

4.4.3　公司并购最优经济规模的确定

为确定公司并购的最优生产规模，设该公司的年均生产能力为Q，产品单价为P，则销售收入为：S= PQ。由于价格线性函数可表示为：P= a- bQ，则销售收入非线性函数为：S= PQ= aQ- bQ2，销售收入非线性函数为：

S=PQ= aQ- bQ2 　　　　　　（4-53）

若用V表示可变成本总额，v为单位可变成本，则有：V= vQ；用F表示年均固定资产折旧，f表示固定资产折旧以外的年均固定费用，用TC表示总成本，则总成本函数为：TC= E+ V= vQ+ F+ f。由于单位变动成本的线性函数为：v= cQ+ d，则变动总成本为：V= cQ2+ dQ，总成本非线性函数为：

TC= cQ2+ dQ+ F+ f 　　　　　　（4-54）

盈亏平衡产量是指产品销售收入等于生产成本时的产量，如果考虑销售税，其税率为λ，则由（4-53）式、（4-54）式求得盈亏平衡生产能力为：

设Q1为公司报告期产量，定义（Q1- Q0）与Q1的比例为经营安全率，即：A=（Q1- Q0）/Q1，当A≥30%时为经营安全，则公司经营安全生产规模为：

（Q1- Q0）/Q1≥30%→Q1≥Q0/0.7　　　　　　（4-56）

当A≤10%时为生产经营的警惕区，警惕生产规模为：Q≤Q0/0.9，通过计算经营安全率可判断生产公司的经营安全程度。确定公司最佳生产规模有许多方法，本书仅介绍单位最低成本法和最大利润法。前面已确定生产成本的非线性模型为：TC=AQ2+BQ+ F+ f，若用C（Q）表示单位生产成本，则有：

C（Q）= cQ+ d+（F+ f）/Q 　　　　　　（4-57）

对（4-57）式中的Q求导并令其为零，化简后便可以得到生产成本最低条件下的最优生产规模Q*公式：

由于（F+ f）≥0，所以，当式中c≤0时（4-55）式无实数解。这时可用最大利润法确定最优生产量。设并购公司的年度利润为L（Q），构建考虑营业税金的利润函数为：

L（Q）= S（1-λ）- TC=［c+ b（1-λ）］Q2+［d- a（1-λ）］Q+ F+ f　　　　　　（4-59）

对（4-59）式中的Q求导，并令其等于零，化简公式后，可求出公司利润最大时的最佳生产规模Q*为：

把（C- D）生产函数Q= ALαKβ代入（4-60）式，替代弹性R=αK/βL= W1/W2，W1为劳动力价格，W2为资本价格，可得到下列关系式：

化简上面等式得到最佳生产规模下劳动力和资本量的最佳投入量为：

4.5　本章小结

本章从对不同公司收益率的分析开始，在对公司并购中不同数量公司的资产组合及其优化分析的基础上，重点对资产组合中的换股比率确定和并购规模选择问题进行了研究。在对换股比率确定的研究中，主要对股票并购方式下换股比率问题进行了较为深入的研究，即对现有的换股比率方法进行分析，特别对L-G模型进行较为深入的分析，在此基础上，建立了增长型控股比例模型，研究了公司并购后不断增长对控股比例的影响，并对公司并购控股比例稀释并购公司股东股份问题进行分析，提出了可行建议。进而对公司并购的规模经济问题进行了深入的探讨，分析了公司并购与经济规模的关系，分别对单位成本最低、收益最大和效率最高三种状态下的并购规模问题进行研究，特别对公司并购的适度交易规模、合理并购规模和最优并购规模问题进行了深入研究，建立了一系列实用的规模经济模型，为公司并购确定并购规模提供了分析及选择方法。