数学模型解决实际问题：充要条件假言推理解析

二　数学模型式概括

教学案例

以下面的习题教学为例：

两条笔直的公路在某处交会，其夹角为30°，其中一条公路旁有一所中学，距交会点160m。某一拖拉机的速度为18km／h。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到影响，那么拖拉机在另一条公路行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由。如果受影响，那么学校受影响的时间为多长？

教师引导学生分析问题中所涉及的数学知识有角、线段长等，那么可将问题背景抽象成数学图形即建立图形模型。假设学校的占地面积和公路的宽度可以忽略不计。如图8—8所示，两条笔直的公路抽象为直线MN和PQ，在点P处交会，且∠QPN＝30°，直线PQ上一点A表示中学，AP＝160m。那么，拖拉机在公路MN上行驶，可抽象为直线MN上一点B在直线上运动。

图8—8　公路交会图

根据数学知识，可知点B在运动过程中与点A的距离是由远到近的，到AB⊥MN时为最近，之后又由近到远。点A到直线M N的距离d就是拖拉机离学校最近时的距离，当且仅当d＜100时，学校会受影响。通过建立直角三角形并进行计算可得d＝80＜100，所以学校会受影响。

逻辑辨析

再通过计算确定两次AB＝100时B点的位置，即可计算出学校受影响时拖拉机所走的距离，进而得出影响时间。

这是一道实际问题，我们把它作为原型。为了有利于对原型问题的解决，我们可以进行如下思考：

第一，问题分析。即分析实际问题中的实际背景，如学校、公路等，以及所涉及的数量关系和变化规律，如笔直的公路、夹角为30°、距交会点160m、周围100m以内等。

第二，进行抽象。即把原型中次要的、个别的、非本质的因素暂时撇开，而只抽取出原型中主要的、普遍的、本质的因素。例如，我们可以把学校的占地面积、公路的宽度、拖拉机的体积等都看作问题中次要的因素，从而假定这些因素可以忽略不计。这样，学校和拖拉机就被抽象为一个点，而公路就被抽象为一条直线。

第三，研究逻辑关系。即发现实际问题中主要的、普遍的、本质的因素，如夹角为30°、距交会点160m、周围100m以内等之间的逻辑关系。

第四，模型建立。根据问题的要求和假设，应用适当的数学方法把问题化为数学研究的对象，即数学模型。

第五，模型求解。运用恰当的方法解决单纯的数学问题，复杂的数学模型可以借助计算机来计算。

第六，解决问题及推广。讨论模型的解是否符合实际问题，模型的各个环节都可能影响模型的结果，例如假设是否合适、归结为数学问题时推理是否正确、求解所用的方法是否恰当、数据是否满足一定的精确度要求等，都应该在讨论的范围之内。然后通过数学模型的解决对实际问题进行预测、分析、优化、解释、决策等。

在此，从问题抽象出数学模型，并用数学结果解决实际问题时，蕴含了充要条件假言推理，如：

当且仅当d＜100时，学校会受影响；

d＝80＜100；

所以，学校会受影响。

事实上，利用数学模型的结果分析解决实际问题，一般都会蕴含充要条件假言推理或充分条件假言推理。这种内在的逻辑关系既保证了数学问题的解对实际问题有帮助，又揭示了怎样由数学问题的解来分析实际问题。

数学模型是一种模拟，是用数学符号、数学公式、程序、图形、图表等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义上的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细致的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。不论是用数学方法在科技和生产领域解决某类实际问题，还是与其他学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解（通常借助计算机）。⁽⁷⁾

建立数学模型的过程，大体有如下几个步骤：

第一，建模准备。了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息，进而用数学语言来描述问题。

第二，模型假设。根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

第三，模型建立。在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。

第四，模型求解。利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。

第五，模型分析。对所要确立的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

第六，模型检验。将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释；如果模型与实际不太吻合，则应该修改假设，再次重复建模过程。

第七，模型应用与推广。应用方式因问题的性质和建模的目的而异。⁽⁸⁾

扩展延伸

【数学】

一个星级旅馆有150个客房。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；每间客房定价为140元，住房率为65%；每间客房定价为120元，住房率为75%；每间客房定价为100元，住房率为85%。欲使每天的收入最高，问每间客房的定价应是多少？

教师引导学生分析，本问题中住房率随着客房定价的变化而变化，收入也就随之变化，符合数学中的函数定义，可以确定建立函数模型。

这里我们做了如下两个假设：

假设一，各间客房定价相等。此点在情景中虽然没有给出，但是情景中也没有给出各间客房定价不等，因此，我们做出此假设。另外，做出这个假设也是为了使计算简化。

假设二，住房率随房价下降而线性增长，这是原先情景中没有的。这个假设使得我们可以具体地写出旅馆一天的总收入函数的表达式。同时要注意到这个假设是合理的，其合理性容易从经理给出的数据中看出：房价每下降20元，住房率就增加10个百分点。

在建立模型时，首先设每间客房的定价为x元，则根据题目所提供的数据和所做的假设，可以得到住房率为55%＋0．5（160－x）%，旅馆总收入记为W，则W＝150x［55%＋0．5（160－x）%］＝202．5x－0．75x ²。为了使住房率大于0且不大于100%，自变量的取值范围为70≤x＜270。用所学二次函数知识容易求得，当x＝135时，W取最大值。

由此就可以估计此问题的解，并可以进一步思考将这个函数模型应用于类似的问题。

下面的问题也可以应用函数模型来求解：

某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表8—1。

表8—1　某地区不同身高的未成年男性的体重平均值

（1）根据表中提供的数据，能否建立恰当的数学模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y（kg）与身高x（cm）的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。

（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1．2倍为偏胖，低于0．8为偏瘦，那么这一地区一名身高为175cm、体重为78kg的在校男生体重是否正常？

分析：由表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型，由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况（快速增长），可以考虑用增长的函数模型来近似地刻画这个地区未成年男性体重y与身高x的函数关系。(www.chuimin.cn)

（1）身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图（见图8—9）。

（2）根据点的分布特征可以考虑以y＝a·b^x作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型。

（3）选取表中两组数据（70，7．90），（160，47．25）代入y＝a·b^x可得到函数模型：y＝2×1．02^x。

图8—9　散点图

（4）将已知数据代入上述解析式，或做出上述函数模型的图像（见图8—10），可以发现这个函数模型与已知数据的拟合度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。

图8—10　指数函数

（5）如何应用模型判断某男生的体重是否正常？将x＝175代入y＝2×1．02^x，得y≈63．98，由于78÷63．98≈1．22＞1．2，所以，该男生偏胖。

（6）还可考虑使用其他增长函数模型：教师还可以指导学生考虑使用幂函数y＝ax^α、二次函数y＝ax ²＋bx＋c、四次函数y＝ax ⁴＋bx ³＋cx ²＋dx＋e来刻画该地区未成年男性体重与身高的关系。

幂函数y＝ax^α（见图8—11）：

图8—11　幂函数

二次函数y＝ax ²＋bx＋c（见图8—12）：

图8—12　二次函数

四次函数y＝ax ⁴＋bx ³＋cx ²＋dx＋e（见图8—13）：

图8—13　四次函数

可以看出，这些函数模型都能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系，因此都是正确的。

由上面的例子可以得出，建立函数模型有以下几个关键点：

（1）可由题目中的数量关系直接写出函数关系式，或者用描点法猜想函数类型，再根据几点确定函数关系式。

（2）要根据实际情况确定函数的定义域，使函数与实际问题保持一致。

（3）常常借助函数的某一性质，如过某一点、最值等，来解决实际问题。

又如，在学习抽样调查的相关知识时，可以进行如下教学：

例题：某人承包了一个池塘养鱼，他想估计一下收入情况，于是让他上中学的儿子聪聪帮忙。聪聪先让他父亲从鱼塘里随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都做上标记，放回鱼塘；过了两天，聪聪又让他父亲从鱼塘里打捞上了50条鱼，结果里面有两条带有标记的。请利用你所学的统计知识帮他估计一下鱼塘里有多少条鱼。

教师引导学生分析，这个问题可以用统计的相关知识来解决，问题中实际上已经抽象出统计模型，需要我们做的是分析统计的过程，并利用结果对问题进行估计。这里聪聪采用了抽样调查的方式，则要分析出总体、样本及它们共同的属性，进而用样本来估计总体。此问题中的总体是鱼塘里所有的鱼，这些鱼中有一些是被做上标记的，即它们具有某种属性。我们想通过分析样本中有百分之几具有这种属性，而得到总体即鱼塘里所有的鱼有百分之几具有这种属性，进而求出总体的容量。那么，样本就是第二次打捞上的50条鱼，而不是第一次打捞上的60条做标记的鱼。统计模型是比较容易想到的，但是在建立过程中，样本是易错点。分析清楚后，即可利用数学知识估计出鱼塘里共有1　500条鱼。

这里运用了统计归纳推理，是根据被分析的样本中有百分之几的对象具有（或不具有）某种属性，从而推出总体中有百分之几的对象具有（或不具有）某种属性的推理。教师只有明确了它的概念，才能带领学生准确地分析出样本是什么。

此外，教师还要引发学生思考：为什么是“估计”？因为是从样本过渡到总体，结论的范围超出了前提的范围，所以结论是或然性的。为什么要两天后再打捞？这是要使做标记的鱼充分混合到全体鱼中，保证抽样的客观性，以提高结论的可靠性。

这个思考问题体现了统计归纳推理结论的或然性和提高结论的可靠程度的一种方法。

由上述问题可以得出，在建立统计模型时，要明确调查对象，然后根据实际情况选择好调查方式，做全面调查或抽样调查，再进行数据的收集、筛选、整理、描述，最后分析所得数据，使得统计结果对实际问题有估计、分析、预测等作用。

勤思多练

【数学】

1．尝试建立不同的数学模型解决下述问题。

有一池塘（见图8—14），要测量池塘的两端AB的距离，直接测量有障碍，能用什么方法测出AB的长度？

（参考提示：可考虑三角形中位线、平行四边形等模型。）

2．尝试建立数学模型解决下述问题。

图8—14　池塘

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？

（参考提示：需要根据条件建立函数模型，列出函数解析式。）

3．分析下述问题，其中需要做哪些模型假设？可以建立什么样的数学模型？

你正在为你父母的投资选择充当顾问，你的父母早就想改善住房条件，5年前在银行开设5年期零存整取账户，坚持每月在工资发放当天存入现金1　000元，从没间断，今年刚好到期。最近，你的父母看中一套价值20万元的房子，决定从银行取出这笔存款，不足部分再向银行申请按揭贷款，那么，你的父母还需要向银行贷多少款？你父母向银行申请为期10年的贷款13万元，结果只批准贷款10万元，请你解释这是为什么？

（参考提示：为简化问题，可假设银行利率不变，以现在利率计算，设最高可贷x元，建立不等式模型，即可解决问题。）

4．分别举出蕴含充要条件假言推理和充分条件假言推理的数学建模实例。

（参考提示：蕴含充要条件假言推理的数学建模实例——研究者可以针对“一辆小汽车与一辆大卡车在一段只能一车行驶的狭路上相遇，如何才能解决继续通行问题”这个现实情况建立数学模型，寻找较为合理的解决方案，其中就蕴含着以“当且仅当采取倒车的办法时，能较为合理地解决继续通行问题”这个假言命题为前提的充要条件假言推理。

蕴含充分条件假言推理的数学建模实例——研究者可以针对“青少年违法犯罪与父母教育子女方法之间的关系”设立课题，在调查统计的基础上建立数学模型。其中就蕴含着以“如果父母教育子女方法不当，青少年就比较容易走向违法犯罪道路”这个假言命题为前提的充分条件假言推理。）

5．举出一个蕴含统计归纳推理的数学建模实例，结合实例说明应从哪几方面注意提高统计归纳推理结论的可靠性。

（参考提示：可从样本的数量、样本的范围、抽样的客观性、统计平均数的求法等方面，提高统计归纳推理结论的可靠性。）