简单枚举与逻辑引导：课堂理性教学

二　不完全归纳式概括：简单枚举式归纳概括

教学案例

在语文教学中，作文（即写作）是师生教与学中一项很重要的内容。但是，实际情况却是，大部分学生学了或六年作文（小学），或九年作文（从小学到初中），或十二年作文（从小学到高中），反而对于作文犯怵发愁，一听到写作文就感到害怕，不知如何下手，起码不是特别明白如何下手。当问到如何将作文开头写好、如何做到不跑题、如何能够使文章重点突出时，许多学生都表现得一脸茫然。拿到一个作文题目，即使是初三甚至是高三的学生，绝大部分都不能马上拿出写好这篇作文的明晰的、理性的方案，整个写作行为多数是跟着感觉走。作文的教与学整体处于一种亚健康的状态。比如2012年北京市的高考作文试题：

阅读下面的材料，按要求作文。

“老计一个人工作在大山深处，负责巡视铁路，防止落石、滑坡、倒树危及行车安全，每天要独自行走二十多公里，每当列车经过，老计都会庄重地向疾驰而过的列车举手敬礼。此时，列车也鸣响汽笛，汽笛声在深山中久久回响……”

大山深处的独自巡视、庄重的敬礼、久久回响的汽笛……这一个个场景带给你怎样的感受和思考？请在材料含意范围之内，自定角度，自拟题目，自选文体（诗歌除外），写一篇不少于800字的文章。

面对这样一道题目，如何能够马上拿出具体的、最佳的写作方案？如何能够马上落笔进入正确的、具体的写作流程？不少学生，甚至有的老师，往往都感到比较茫然。比如说，试题要求“请在材料含意范围之内，自定角度，自拟题目，自选文体（诗歌除外），写一篇不少于800字的文章”，我们怎么“在材料含意范围之内”，写好一篇不少于800字的文章呢？具体可行的方法是什么？实际情况是，大部分人都说不清楚，或者是说了一大堆，最后操作起来还是不得要领，只能跟着感觉走，得不到最佳效果。

那么，问题究竟出在哪里？出在了缺乏运用归纳式概括对写作方法进行必要的、科学的提炼。

逻辑辨析

不完全归纳式概括，也可称为不完全归纳推理，或不完全归纳法。它是以某类中部分对象（或子类）具有或不具有某一属性为前提，得出该类对象全部具有或不具有该属性为结论的一种逻辑概括。不完全归纳式概括包括简单枚举式归纳概括和科学归纳式概括。

简单枚举式归纳概括是指：在一类事物中，根据已观察到的部分对象都具有或都不具有某种属性，并且没有遇到任何反例，从而推出该类事物都具有或都不具有该种属性的结论。这就是简单枚举式归纳概括。

就我们的教学而言，最佳的教与学的过程，其实就是运用好的方法对知识进行剖析、传授进而理解、掌握、运用的过程。抛开“教”不说，单说“学”，学习成绩比较好的学生，除去天资聪颖的因素，主要是对学习方法的掌握优于其他学生，也就是说他们“会学”。

那么，他们究竟是怎样的“会学”呢？“会”究竟表现在哪些方面呢？主要表现在他们会在纷繁复杂的事物中很快地“概括和提炼”出解决问题的最佳方法。这种“概括和提炼”就是一种逻辑思维能力。

就上述试题而言，解决问题的方法要具体化，忌讳给学生诸如“要整体感知”、“全面把握”、“准确切入”和“下笔之前一定要审好题，审不好题可千万别下笔”一类的笼统的指导。

根据简单枚举式归纳概括原理我们发现：

朱自清的散文《春》的开头点了题目：“盼望着，盼望着，东风来了，春天的脚步近了……”（此处“春天”点了题目“春”，是在文章开头的后半部分点题，因此是“后点”。同时，由于在开头部分明确点出了题目，因此是“明点”。）

郭沫若的散文诗《白鹭》的开头点了题目：“白鹭是一首精巧的诗……”（文章开头就点出了题目“白鹭”，因此是“前点”，同时也是“明点”。）

魏巍的散文《我的老师》的开头点了题目：“最使我难忘的，是我小学时候的女教师蔡芸芝先生……”（开头“我……的……教师”点出了题目，属于“明点”。同时，由于是散在开头部分中点题的，因此又是“散点”。）

鲁彦的散文《听潮》的开头点了题目：“一年夏天，我和妻坐着海轮，到了一个有名的岛上……”（在开头部分没有明确地把题目点出来，但通过“海”、“岛”间接地把题目点了出来，因此属于“暗点”。）

2010年河北省高考优秀作文《优越赐予我们的懒惰》的开头点了题目：“一位著名的经济学家曾提出一个名为‘棘轮效应’的理念，即渐次优越的生活环境赐予了我们许多新的性格定位，而当这种优越感消失的时候，这种心理是难以回转的。我想：懒惰，也是优越赐予我们的一种可怕的定位吧！”（在文章开头的后面部分，通过“懒惰，也是优越赐予我们的……”把题目点了出来，属于“后点”。）

高尔基的散文诗《海燕》的开头点了题目：“在苍茫的大海上，狂风卷集着乌云，在乌云和大海之间，海燕像黑色的闪电，在高傲地飞翔……”（在文章开头的中间部分，把题目点了出来。属于“明点”、“中点”。）

…………

朱自清的《春》、郭沫若的《白鹭》、魏巍的《我的老师》、鲁彦的《听潮》、作文《优越赐予我们的懒惰》、高尔基的《海燕》是好作文或好文章的部分对象，这些文章在开头部分都点了题且在枚举中未遇反例。

所以，所有的好作文（或好文章）的开头都是要点题目的，不管是明点还是暗点、整点还是散点、正点还是反点或是侧点、后点还是前点或是中点，总之都必须点题。

同样运用简单枚举式归纳概括，不仅可以找出好作文的开头的写作方法，而且还可以找出好作文中间和结尾的写作方法。这个方法是好作文写作的一般规律，也就是说，所有的好作文都必须这样做。这个一般规律就是：

开头：点题定位；

中间：承上详写；

结尾：照应深化。

“点题”就是“点”题目（也包括中心、主题），“定位”就是确定下文要写的内容、范围或确定行文的方向、主旨，回答题目“怎么了”、“是什么”等；“承上详写”就是“承接”着开头“定位”详细地、有条理地把中间内容写出来；“照应深化”就是结尾再照应一下开头，并在“照应”的基础上“深化”一下主题（中心、主旨）。

把这个方法告诉学生，让学生按照这个方法学习和写作，学生很快就写出了好作文（满分作文）：

还以上面的试题为例——

汽笛声久久回响

北京一考生

列车巡视员老计，每天在深山里走二十多公里路守护铁路，防止落石、滑坡、倒树危及行车安全，每有列车经过他都会敬礼，列车也会鸣笛回应，汽笛声在山谷中久久回响……这久久回响的何止是一种汽笛声，更是对一种精神的敬重，对一种品质的颂扬。

（开头点题定位：题目是“汽笛声久久回响”，开头“点题”：“汽笛声在山谷中久久回响”；“定位”：“这久久回响的何止是一种汽笛声，更是对一种精神的敬重，对一种品质的颂扬”。）

这是对坚守岗位、爱岗敬业精神和品质的敬重与颂扬。老计工作在深山，长年累月，枯燥乏味，但他没有嫌弃自己的岗位，而是兢兢业业做好本职工作。我们生活中这样的事例举不胜举。正是有一大批像老计一样爱岗敬业的人，我们共和国才有今天这样辉煌的发展。

我们还记得全国劳模时传祥，他是北京城郊的一位淘粪工人。他“宁肯一人脏，换来万户净”的毫不利己、专门利人、爱岗敬业的崇高精神，曾受到党和人民的高度赞扬；我们还记得雷锋，他干一行爱一行的“钉子精神”曾影响了一代又一代人；我们还记得公交劳模李素丽，她始终如一地模范遵守职业道德，发扬“一心为乘客，服务最光荣”的爱岗敬业的精神，全心全意、真诚热情地为乘客服务……正是这种精神和品质撑起了共和国的脊梁。共和国的列车汽笛长鸣，汽笛声久久回响……

这是对默默无闻、无私奉献精神和品质的敬重和颂扬。长年累月在深山，这需要多大的甘于寂寞和默默奉献的精神啊！尤其是在经济飞速发展、人心浮躁，对所谓实惠趋之若鹜的今天，没有一点像老计一样的大爱和胸襟，如何能经得起如此喧嚣的社会的考验！

我们不曾忘记黎族教师李桂林、陆建芬夫妇，以十九年的坚持，在悬崖绝壁一道狭窄天梯上几千次地来来回回，只为了给一个十几年没有学校的小山村的孩子们搭建通往美好生活的知识桥梁；我们不曾忘记神七航天员翟志刚、刘伯明、景海鹏，他们为了让太空第一次留下中国人的足迹，承受着常人难以想象的压力艰苦训练，终于让五星红旗在浩渺太空高高飘扬；我们更不曾忘记那些镇守偏僻边关海岛的将士们，无论条件多么艰苦，他们都没有放弃坚守祖国的边疆，金钱诱惑不了他们，所谓实惠也动摇不了他们。因为他们心中有汽笛声久久回响……

（中间承上详写：中间“承接”着上边“定位”的“这久久回响的何止是一种汽笛声，更是对一种精神的敬重，对一种品质的颂扬”，从两个方面——“这是对坚守岗位、爱岗敬业精神和品质的敬重与颂扬”、“这是对默默无闻、无私奉献精神和品质的敬重和颂扬”——详细地写了“定位”的内容。）

我们需要老计的精神！我们都需要具有老计的精神！让这种精神和品德发扬光大，让汽笛声久久回响……

（结尾照应深化：“汽笛声久久回响”照应开头和题目，“我们需要老计的精神！我们都需要具有老计的精神！让这种精神和品德发扬光大”深化了文章的主题。）

知识链接

简单枚举式归纳概括（即简单枚举归纳推理）的逻辑形式可以表述如下：

S₁是（或不是）P

S₂是（或不是）P

S₃是（或不是）P

…………

S _n是（或不是）P

S₁，S₂，S₃，…，S _n是S类的部分对象，且枚举中未遇反例

所以，所有S都是（或不是）P

简单枚举式归纳概括的结论是或然的，因为其结论超出了前提所断定的知识范围。因此，要提高简单枚举式归纳概括的可靠性，必须注意以下两点：（1）枚举的数量要足够多，考察的范围要足够广。（2）考察有无反例。只要有反例，结论就不能成立。比如：“张三家的老人有白头发，李四家的老人有白头发，王五家的老人有白头发，赵六家的老人也有白头发……”但是，我们并不能就此得出结论：“所以，世界上所有‘家’的老人都有白头发”。因为世界上的“家”还有无数个，这其中，绝对存在有的“家”的老人没有白头发。因为有这反例的存在，因此，这个概括是不能进行的。

所以，运用简单枚举式归纳概括，切忌“轻率概括”，一定要使枚举的数量足够多，考察的范围足够广。尽管有其局限性，简单枚举式归纳概括在日常生活尤其是在探求新知识的过程中，还是具有极为重要的意义的。其作用概括起来有二：

一是具有认识作用。由于这一推理的结论所断定的知识超出了前提的范围，因而它能够给人们提供新的知识。

二是具有辅助论证的作用。虽然这一推理属于或然性推理，其结论不是必然真的，但是它仍可以在论证中在某种程度上对论题起支持作用，从而提高论题的可信度，增强论证说服力。

扩展延伸

【化学】

请你仿照表7—1中的示例，运用简单枚举式归纳概括，由个别到一般，依据化学事实进行比较分析，归纳推理结论，填写表中的所有空格（1）、（2）、（3）。（所填的实验结论不能重复。）

表7—1　依据化学实验进行归纳概括(www.chuimin.cn)

（参考提示：1．实验事实：盐酸、稀硫酸使紫色的石蕊试液变红；实验结论：酸溶液能使紫色的石蕊试液变红。2．实验事实：氯化钠、氯化钾溶液能与硝酸银溶液反应生成不溶于稀硝酸的白色沉淀；实验结论：盐酸盐的溶液都能与硝酸银溶液反应生成不溶于稀硝酸的白色沉淀。3．实验事实：氢氧化钾溶液、氢氧化钠溶液都能使无色的酚酞试液变红；实验结论：碱溶液都能使无色的酚酞试液变红。）

【数学】

被誉为“数学王冠上的明珠”的“哥德巴赫猜想”，在提出过程中就运用到了简单枚举式归纳推理。

两百多年前，德国数学家哥德巴赫发现，一些奇数都分别等于三个素数之和。例如：

17＝3＋3＋11

41＝11＋13＋17

77＝7＋17＋53

461＝5＋7＋449

哥德巴赫并没有把所有奇数都列举出来（事实上也不可能），只是从少数例子出发就提出了一个猜想：所有大于5的奇数都可以分解为三个素数之和。他把这个猜想告诉了数学家欧拉。欧拉肯定了他的猜想，并补充提出猜想：大于2的偶数都可以分解为两个素数之和。例如：

10＝5＋5

14＝7＋7

18＝7＋11

462＝5＋457

前一个命题可以从这个命题得到证明，这两个命题后来合称为“哥德巴赫猜想”。⁽³⁾再如：

从四边形的一个顶点引出所有的对角线，四边形被分成2个三角形，三角形个数比四边形的边数少2；

从五边形的一个顶点引出所有的对角线，五边形被分成3个三角形，三角形的个数比五边形的边数少2；

从六边形的一个顶点引出所有的对角线，六边形被分成4个三角形，三角形的个数比六边形的边数少2；

…………

（举例中未遇反例。）

所以，从多边形的一个顶点引出所有的对角线所分得的三角形的个数总比多边形的边数少2。

而且，每个三角形的内角和是180°，因此，n边形的内角和为（n－2）×180°。

【物理】

铜能导电；

银能导电；

锌能导电；

…………

（实验中未遇反例。）

铜、银、锌都是金属；

所以，金属都能导电。

又如：

人们说话时声带在振动；

蝈蝈叫的时候羽翅在振动；

战鼓雷鸣，鼓皮在振动；

铜镲阵阵响，镲体在振动；

…………

（举例中未遇反例。）

人说话、蝈蝈叫、战鼓鸣、铜镲响都是在发声；所以，一切发声都是物体在振动。

【生物】

绿草丛中的蝈蝈为保护自己，体色与环境一致；

北极地区的白熊为保护自己，体色与环境一致；

雷鸟为保护自己，羽色因季节而异、与环境一致；

…………

（举例中未遇反例。）

蝈蝈、白熊、雷鸟等都是动物；

所以，动物为了保护自己，并利于其避敌、捕食等，其体色与环境的色彩往往相似而不易被其他动物发现。

日常生活中，此例更多。例如：我们买葡萄的时候，往往是先尝一尝。尝了一颗很甜，又尝了一颗还很甜，然后就归纳概括出所要买的所有葡萄都很甜，就放心地买上一大串。

勤思多练

【语文】

1．请判断以下推理正确与否并简要说明理由。

古代著名诗人都爱种柳，不但写下许多咏柳佳作，而且本人都种柳。陶渊明以“五柳先生”为号说明了他对柳的喜爱。欧阳修也是种柳能手。宋代张邦基在《墨庄漫录》中记载：“扬州蜀冈上大明寺平山堂，欧阳文忠手植柳一株，人谓之欧公柳。”白居易外放时也曾不止一次种过柳，他在《忆江柳》一诗中写道：“曾栽杨柳江南岸，一别江南两度春。遥忆青青江岸上，不知攀折是何人。”柳宗元用诗记载了他在柳州任刺使时种柳的事。他在《种柳戏题》中写道：“柳州柳刺使，种柳柳江边。谈笑为故事，推移成昔年。”

（参考提示：不正确。简单枚举式归纳概括的一条重要原则就是在考察中没有遇到反例。但是，这个推理仅根据部分著名诗人爱种柳的事实，而没注意文学史上存在大量相反的事例，便得出涉及所有古代著名诗人的全称结论，犯了“轻率概括”的逻辑错误。）

2．请用逻辑知识简要分析一则寓言故事。

一个户籍官员到一个村庄去登记户口，询问的第一个户主叫威廉·威廉斯，接下来第二个、第三个甚至第四个户主也叫这个名字，最后他对自己说：“他们显然都叫威廉·威廉斯。我把他们都照这名字登记上，今天好休息。”图省事的结果是他错了，村子里还有一个叫约翰·琼斯的。

（参考提示：这个户籍官员犯了“轻率概括”的错误，他运用简单枚举归纳法，根据部分户主的姓名都一样，没有注意去发现反例，就概括出所有户主姓名都一样的确定结论，其概括是不正确的。）

3．请用简单枚举式归纳概括法分析《孟子》中节选的文字。

舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。

故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。

（参考提示：选文分两段。第一段列举了六种具有共性的事例，且未遇到反例，因此，第二段便得出一般性结论：艰难困苦，是成就人能够担当“大任”的必备条件。）