课堂逻辑味道：巧辨逻辑联结词

2024-07-27 百科知识版权反馈

【摘要】：五辨别逻辑联结词（二）教学案例人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1）第一册中有“充分条件与必要条件”一课，下面选取一个教学设计分析其中蕴含的逻辑知识。逻辑辨析假言命题是断定事物情况之间条件关系的复合命题。例如，“年满18岁”是“有选举权”的必要条件。显然，当前件和后件同真或同假时，一个充分必要条件假言命题为真，在其他情况下都是假的。这就导致了论述中的不合逻辑。

五　辨别逻辑联结词（二）

教学案例

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修1）第一册中有“充分条件与必要条件”一课，下面选取一个教学设计分析其中蕴含的逻辑知识。

［实例引入］

《墨经·经上》中有这样的话：

“小故，有之不必然，无之必不然。”

思考下面两句话中的逻辑：

“灾后重建的新面貌，充分说明社会主义制度非常优越。”

“要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的。”

［讲解新课］

前面我们讨论的“若p则q”形式的命题，其中有的为真，有的为假。“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p→q”。

例如：“若x＞0，则x²＞0”是一个真命题，可写成“x＞0→x²＞0”。

如果已知p→q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

例如：由“全等三角形面积相等”可得到，“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件。

练习：用“充分”或“必要”填空。

（1）“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的______条件；

（2）“四边相等”是“四边形是正方形”的______条件；

（3）“x＞2”是“x＞3”的_____条件。

逻辑辨析

假言命题是断定事物情况之间条件关系的复合命题。由于条件关系分为三种——充分条件、必要条件和充分必要条件，假言命题也分为三种——充分条件假言命题、必要条件假言命题、充分必要条件假言命题。

一、充分条件假言命题及其推理

充分条件假言命题是断定充分条件关系的假言命题。事物情况p是事物情况q的充分条件是指：有p一定有q，但无p未必无q。例如，“天下雨”就是“地上湿”的充分条件。充分条件假言命题的标准形式是“如果p，那么q”，可以写成“p→q”，其中p为前件，q为后件，“→”为充分条件假言命题中前件与后件的联结项。在日常语言中，充分条件假言命题常常用多种形式加以表述，如“只要p，就q”，“一旦p，则q”等，有时其中的联结词还可以省略，如“锲而不舍，金石可镂”，“人心齐，泰山移”，“招手即停”。

一个充分条件假言命题，只有在前件（p）真、后件（q）假的情况下才是假的，在其他情况下都是真的（见表4—7）。

表4—7　充分条件假言命题真值表

根据充分条件假言命题的上述性质，充分条件假言推理的有效式包括以下两种：

（1）肯定前件式

如果p，那么q

p＿＿＿

所以，q

例如：如果官员甲拥有不受监控的权力，官员甲就很容易腐败；官员甲确实拥有不受监控的权力，所以，官员甲很容易腐败。

（2）否定后件式

如果p，那么q

非q＿＿＿

所以，非p

例如：如果小张体内有炎症，则他血液中的白细胞含量就会不正常；小张血液中的白细胞含量正常，所以，小张的体内没有炎症。

至于充分条件假言推理的否定前件式：

如果p，那么q

非p＿＿＿

所以，非q

和肯定后件式：

如果p，那么q

q＿＿＿

所以，p

都是无效的推理形式。例如：如果我想当外语翻译，我就必须学好外语；我不想当外语翻译，所以我不必学好外语。这个推理是充分条件假言推理的否定前件式，是无效的。再如：如果小张患肺炎，则他会发烧；小张发烧了，所以他一定患了肺炎。这个推理是充分条件假言推理的肯定后件式，也是无效的。

二、必要条件假言命题及其推理

必要条件假言命题是断定必要条件关系的假言命题。事物情况p是事物情况q的必要条件是指：无p一定无q，但有p未必有q。例如，“年满18岁”是“有选举权”的必要条件。必要条件假言命题的标准形式是“只有p，才q”，可以写成“p←q”。在日常语言中，它也可以表述为“除非p，否则不q”等，如“除非考试及格，否则不予录取”。

一个必要条件假言命题，只有在前件假、后件真的情况下才是假的，在其他情况下都是真的（见表4—8）。

表4—8　必要条件假言命题真值表

根据必要条件假言命题的上述性质，必要条件假言推理的有效式包括以下两种：

（1）否定前件式

只有p，才q

非p＿＿＿＿

所以，非q

（2）肯定后件式

只有p，才q

q＿＿＿

所以，p

必要条件假言推理的无效式有肯定前件式：

只有p，才q

p＿＿＿＿

所以，q

和否定后件式：

只有p，才q非q

所以，非p

三、充分必要条件假言命题及其推理

充分必要条件假言命题是断定充分必要条件关系的假言命题。事物情况p是事物情况q的充分必要条件是指：有p就有q，并且无p就无q。充分必要条件假言命题的标准形式是“p当且仅当q”，可以写成“p→q”，这种表述形式常在数学中出现。在日常语言中通常用下述形式表示：“如果p则q，并且只有p才q”，“如果p则q，并且如果非p则非q”等。例如，“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”就是一个充分必要条件假言命题，它表示“人犯我”是“我犯人”的充分必要条件。

显然，当前件和后件同真或同假时，一个充分必要条件假言命题为真，在其他情况下都是假的（见表4—9）。

表4—9　充分必要条件假言命题真值表

充分必要条件假言推理的四个有效式列举如下：

p当且仅当q

p＿＿＿＿

所以，q(www.chuimin.cn)

p当且仅当q

非p＿＿＿＿

所以，非q

p当且仅当q

q＿＿＿＿

所以，p

p当且仅当q

非q＿＿＿＿

所以，非p

知识链接

在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件、必要不充分条件、充分且必要条件、既不充分又不必要条件。

要理解“充要条件”的概念，对于符号“→”要熟悉它的各种同义词语，如“等价于”、“当且仅当”、“反之也真”等。

从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合B，则当A≤B时，p是q的充分条件；B≤A时，p是q的必要条件；A＝B时，p是q的充要条件。

【语文】

议论性文章是要说理的，因此出现逻辑问题的情况要多一些。比如，将“勤奋出天才”作为文章论题，那么，根据逻辑判断，“勤奋”是成为天才的必要条件，但一些学生在审题时，常会误将“勤奋”当作成为天才的充分条件，甚至当作充要条件。这就导致了论述中的不合逻辑。例如，有许多“勤奋”者，却不能成为天才，这又如何解释呢？在这样的虚假的、违反逻辑的说理中，学生无法正确认识“勤奋”的真正含义，一方面会滋长说假话的习惯，一方面会形成放弃“勤奋”的意念。在立意上有这样的问题，在文章的行文中也有这样的问题。⁽⁴⁾

【化学】

人教版义务教育教科书《化学》九年级上册有“燃烧和灭火”这一课，其中蕴含了必要条件假言推理。借助下面的教学过程，我们来分析一下。

师生猜想燃烧的条件，设计实验。

实验一：分别在酒精灯上点燃蘸有酒精和水的棉花球——蘸有酒精的棉花球燃烧，蘸有水的棉花球不燃烧。

实验二：点燃两支蜡烛，其中一支罩上玻璃杯——罩上玻璃杯的蜡烛熄灭了，没罩玻璃杯的蜡烛继续燃烧。

实验三：分别在酒精灯上点燃木条和煤块——木条燃烧了，煤块不燃烧。

为什么会出现这些现象呢？

燃烧与物质的性质有关，物质要具有可燃性；燃烧与氧气有关，要与氧气充分接触；燃烧与温度有关，温度要达到着火点。

燃烧的条件：（1）可燃物；（2）氧气（或空气）；（3）达到燃烧所需的最低温度（即着火点）。

师生设计实验：往烧杯中注入一定量的热水，并放入一小块白磷。在烧杯上盖一片薄铜片，薄铜片一端放上一小块红磷，另一端放上一小块白磷，猜测并观察现象。

由实验现象及思考得出结论：三个条件缺一不可。

教师介绍“火三角”，同时指出：火，让愚昧化作文明，使黑暗趋向光明。火的发现和利用，改善了人的生存条件，并使人类变得聪明而强大，推动了人类历史向前发展。但是火灾却给人类带来了巨大的危害。据联合国“世界火灾统计中心”近年来的不完全统计，全球每年约发生600万至700万起火灾，全球每年死于火灾的约有65　000至75　000人。

由此引出灭火，设计实验或思考得到：三个条件破坏了一个，燃烧就不能发生，即达到灭火的目的。也就是隔离可燃物、隔绝氧气或降温到该物质的着火点以下。

这节课中，三个燃烧的条件都分别是燃烧的必要条件，也就是“只有可燃物，才能燃烧”，“只有有氧气，才能燃烧”，“只有达到着火点，才能燃烧”。利用必要条件假言推理：

只有p，才q

非p

所以，非q

要想灭火，就要否定可燃物、氧气或者达到着火点三个条件之一。

这个推理是学生能够做到的，所以这部分知识应让学生充分思考，发展逻辑推理能力，设计实验可让学生体会、检验推理的正确性。

勤思多练

【数学】

1．（2013年高考文科数学安徽卷）“（2x－1）x＝0”是“x＝0”的（　　）。

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选B。）

2．（2013年高考文科数学山东卷）给定两个命题p、q，若↑p是q的必要不充分条件，则p是↑q的（　　）。

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选A。）

3．（2013年高考理科数学北京卷）“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x＋φ）过坐标原点”的（　　）。

A．充分不必要条件　　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选A。）

4．（2013年高考文科数学天津卷）设a，b∈R，则“（a－b）·a²＜0”是“a＜b”的（　　）。

A．充分而不必要条件　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选A。）

5．（2013年高考理科数学福建卷）已知集合A＝｛1，a｝，B＝｛1，2，3｝，则“a＝3”是“A≤B”的（　　）。

A．充分而不必要条件　　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件　　　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选A。）

6．（2013年高考文科数学湖南卷）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（　　）。

A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　　　　D．既不充分也不必要条件

（参考提示：选A。）

【综合】

列举学科中充分条件、必要条件或充要条件假言推理的实例，并分析其中的有效推理形式。

（参考提示：以物理学科为例——

充分条件假言推理：如果物体不受外力作用，那么它将保持静止或匀速直线运动状态；某物体没有受到外力作用；所以，某物体将保持静止或匀速直线运动状态。充分条件假言推理的有效式有：肯定前件式、否定后件式。

必要条件假言推理：只有声音在人耳听觉频率范围内，人才能听见声音；某人能听见声音；所以，声音在某人听觉频率范围内。必要条件假言推理的有效式有：否定前件式、肯定后件式。

充要条件假言推理：当且仅当晶体达到熔点和继续吸热，晶体会熔化；某晶体达到了熔点并继续吸热；所以，某晶体会熔化。充要条件假言推理的有效式有：肯定前件式、否定前件式、肯定后件式、否定后件式。）

【注释】

(1)转引自夏蔚：《如何选择有效反例——〈什么样的反例可以成为典范〉一文分析》，载《数学教学》，2009（5）。

(2)参见陈和锋．“万有引力定律”教学设计．见人教网，2009－01－19。

(3)百度文库．高中物理2．10“简单的逻辑电路”教案（新人教版选修3—1）．见百度网，2012－02－11。

(4)参见黄春燕，刘士喜：《语文教学中逻辑思维能力的培养》，载《学习方法报·语数教研周刊》，2012（9）。

课堂逻辑味道：巧辨逻辑联结词

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