教与学：识别逻辑联结词

四　辨别逻辑联结词（一）

教学案例

针对“逻辑联结词”的学习，教师可以设计如下教案：

引入：下列各组命题中，几个命题间有什么关系？

1．（1）15能被3整除；（2）15能被4整除；（3）15能被3整除且能被5整除。

2．（1）24是5的倍数；（2）24是8的倍数；（3）24是5的倍数或8的倍数。

3．（1）方程x²＋x＋1＝0有实数根；（2）方程x²＋x＋1＝0无实数根。

归纳定义：

一般说来，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”。这是复合命题中的联言命题。

一般说来，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”。这是复合命题中的选言命题。

一般说来，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作↑p，读作“非p”。这是复合命题中的负命题。

需要注意的是，定义中的“且”、“非”与日常语言中的“且”、“非”意义一致。但日常生活中的“或”一般表示二者取其一，如“去开会或留下准备资料”，一般就理解为要么去开会，要么留下准备资料，二者不可同时选取；而在逻辑上，联结词“或”则可以有两种含义：一是表示用“或”联结的支命题间存在不相容关系，即二者必取其一；另一是表示用“或”联结的支命题间存在相容关系，即可以取其一也可以二者都取。如：“苹果是长在树上或长在土里的”这一命题，从逻辑学的角度来看它是真命题，但在日常生活中我们认为这句话是不妥的。

例题：分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题。

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数。

（2）李强是篮球运动员或跳高运动员。

（3）平行线不相交。

解：（1）这个命题是p且q的形式，其中p是“24是8的倍数”，q是“24是6的倍数”。

（2）这个命题是p或q的形式，其中p是“李强是篮球运动员”，q是“李强是跳高运动员”。

（3）这个命题是非p的形式，其中p是“平行线相交”。

你能确定命题p∧q、p∨q、↑p的真假吗？它们的真假和命题p、q的真假之间有什么联系？

学生可由上面例题中p、q、p∧q、p∨q、↑p的真假性，概括出它们的真假之间的关系（见表4—1）。

表4—1　联言命题和选言命题真值表

练习：

1．分别指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题。

（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）π不是整数。

解：（1）是“p或q”形式，p是“8＞7”，q是“8＝7”。

（2）是“p且q”形式，p是“2是偶数”，q是“2是质数”。

（3）是“非p”形式，p是“π是整数”。

2．把下列写法改写成复合命题“p或q”、“p且q”或“非p”的形式。

（1）（a－2）（a＋2）＝0；（2（3）a＞b≥0。

解：（1）p：a－2＝0或q：a＋2＝0。

（2）p：x＝1且q：y＝2。

（3）p：a＞b且q：b≥0。

3．写出由下列各组命题构成的p∧q、p∨q、↑p形式的复合命题，并判断真假。

（1）p：1是素数；q：1是方程x ²＋2x－3＝0的根。

（2）p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直。

（3）p：方程x ²＋x－1＝0的两实根符号相同；q：方程x ²＋x－1＝0的两实根的绝对值相等。

解：（1）p∧q：1既是素数又是方程x ²＋2x－3＝0的根；

p∨q：1是素数或是方程x ²＋2x－3＝0的根；

↑p：1不是素数；

因为p假q真，所以p∧q假、p∨q真、↑p真。

（2）p∧q：平行四边形的对角线相等且互相垂直；

p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直；

↑p：并非所有平行四边形的对角线都相等，即有些平行四边形的对角线不相等（注意这是个全称命题的否定，结果应为特称命题）；

因为p假q假，所以p∧q假、p∨q假、↑p真。

（3）p∧q：方程x ²＋x－1＝0的两实根符号相同且绝对值相等；

p∨q：方程x ²＋x－1＝0的两实根符号相同或绝对值相等；

↑p：方程x ²＋x－1＝0的两实根符号不相同；

因为p假q假，所以p∧q假、p∨q假、↑p真。

逻辑辨析

p∧q（p且q）在逻辑中称为联言命题，是反映若干事物情况共存的复合命题。在此，“p”、“q”为支命题，“∧”（“且”）为联言联结词。联言命题的支命题称为联言支，联言支至少有两个。“……并……”、“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”等都是联言联结词。由于联言命题反映事物情况并存，因此，它要求联言支反映的事物情况都分别存在。所以，只有在联言支都真的情况下，整个联言命题才是真的，也就是我们所说的“同真才真，一假必假”。

p∨q（p或q）在逻辑中称为选言命题，是反映若干事物情况中至少有一个存在的复合命题。在此，“p”、“q”为支命题，“∨”（“或”）为选言联结词。选言命题的支命题称为选言支，选言支也至少有两个。“……或者……”、“或……或……”、“要么……要么……”等都是选言联结词。我们通常所说的是相容选言命题，由于反映若干事物情况至少有一个存在，而且若干事物情况可以并存，因此，选言命题所排除的是若干事物情况都不存在。所以，只有在选言支都假的情况下，整个选言命题才是假的，其他情况下都是真的，也就是我们所说的“同假才假，一真必真”。

↑p（并非p）即对一个命题所做出的否定，在逻辑中称为负命题，是否定一个命题的复合命题。在此，“p”为支命题，“↑”（“非”）为否定联结词。负命题是一种特殊的复合命题，它只有一个支命题，即所否定的命题，称之为原命题。日常语言中，否定联结词不一定出现在原命题前面，如“闪光的并不都是金子”中的“并不”出现在原命题的中间。负命题是对原命题的否定，因此它的真假与原命题相反，即原命题真则其负命题假，原命题假则其负命题真，也就是我们所说的“真假分明”。

知识链接

逻辑联结词中的“且”、“或”、“非”与集合运算中的“交”、“并”、“补”密切相关：

A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B｝，集合的并集是用“或”来定义的。

A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B｝，集合的交集是用“且”来定义的。

＝｛x｜x∈U，且x∈A｝，集合的补集与“非”密切相关。

在此，要特别注意命题的否定也就是非p。千万不要把命题的否定与后面将要说到的否命题混淆。这是因为：

第一，命题的否定即负命题，其原命题可以是任何命题，也就是说，原命题既可以是简单命题，如“并非所有平行四边形都是菱形”就是对“所有平行四边形都是菱形”这个简单性质命题的否定，其原命题也可以是复合命题，如“并非只要努力学习，就一定能够考出好成绩”就是对“只要努力学习，就一定能够考出好成绩”这个复合的假言命题的否定。然而，否命题的原命题却只能是复合命题，而且是复合命题中的假言命题。这就是说，以简单命题形式呈现的原命题，可以有原命题的否定，但没有原命题的否命题；以复合命题中的选言命题和联言命题形式呈现的原命题，可以有原命题的否定，但也没有原命题的否命题。

第二，命题的否定是对整个原命题的否定，不管这个原命题是一个简单命题，还是一个复合的假言命题，或者一个复合的选言命题或联言命题。从逻辑的角度看，如果原命题为真，则原命题的否定即负命题必为假；如原命题为假，则原命题的否定即负命题必为真。负命题真当且仅当其原命题假，负命题假当且仅当其原命题真。但是，否命题和其原命题之间就不具有这种逻辑性质。例如原命题为“两直线平行，同位角相等”，则原命题的否定（非p）为“并非‘两直线平行，同位角相等’”，原命题的否命题为“两直线不平行，同位角不相等”。命题的否定与原命题的真假一定不同，而原命题与其否命题的真假可以相同或不同。

扩展延伸

【物理】

人教版普通高中课程标准实验教科书《物理》（选修3）第一册中讲到了“简单的逻辑电路”，相关教案如下：

［引入新课］

教师演示“一盏神奇的灯”——接通电源，灯不亮；有（小）声，灯不亮；挡住光线，全场安静，灯不亮；挡住光线，拍手，灯亮。

通过演示声光控感应灯，引发学生好奇心理和探究欲望。

教师介绍身边的“数字”应用：数码产品、数字电视、其他相关家电等。这些电器中都包含了“智能”化逻辑关系，由此引入“简单的逻辑电路”。

［进行新课］

介绍数字信号与模拟信号：

数字信号在变化中只有两个对立的状态：“有”或者“没有”。而模拟信号的变化则是连续的。

调节收音机的音量，声音连续变化，声音信号是“模拟”量。

图示模拟信号和数字信号（见图4—12）。

图4—12　模拟信号与数字信号

通过上述讲解，教师引导学生了解数字信号和模拟信号的不同特征，由此引入数字电路─→逻辑电路─→门电路。

教师介绍：数字信号的1和0好比是事物的“是”与“非”，而处理数字信号的电路称数字电路，因此，数字电路就有了判别“是”与“非”的逻辑功能。教师由此引入数字电路中最基本的逻辑电路——门电路。

1．“与”门

教师介绍：所谓“门”，就是一种开关，在一定条件下它允许信号通过，如果条件不满足，信号就被阻挡在“门”外。

教师投影（见图4—13）。

引导学生分析开关A、B对电路的控制作用，体会“与”逻辑关系（从逻辑上看，“与”逻辑关系也就是前面讲过的“且”逻辑关系）。(www.chuimin.cn)

图4—13　“与”逻辑电路

学生思考与讨论：谈谈生活中哪些事例体现了“与”逻辑关系（见图4—14）。

图4—14　生活中的“与”逻辑关系

教师指出：具有“与”逻辑关系的电路称为“与”门电路，简称“与”门。符号如图4—15所示。

图4—15　“与”门的符号

（1）“与”逻辑关系的数学表达，寻找“与”电路的真值表。

把开关接通定义为1，断开定义为0，灯泡亮为1，熄为0，表4—2的情况可以用表4—3的数学语言来描述。这种表格称为真值表。

教师投影：

表4—2　“与”逻辑电路的各种情况　表4—3　“与”门的真值表

（2）总结“与”逻辑关系：有两个控制条件作用会产生一个结果，当两个条件都满足时，结果才会成立，这种关系称为“与”逻辑关系。

让学生理解数字信号“与”逻辑关系、对“与”逻辑关系的详细分析，理解并记住“与”逻辑的真值表。

（3）演示“与”门电路实验（见图4—16）。

图4—16　晶体二极管“与”门电路

通过示范性的操作演示讲解，理解“与”门电路实现“与”关系处理的电路原理，为下一阶段探究“或”关系及“或”门电路做准备。

（4）声光控感应灯的再讨论。

2．“或”门

以锁门方式的讨论，引入“或”门：家中的门锁能用“与”的关系吗？

学生讨论：不能用“与”的关系。

教师投影（见图4—17）。

图4—17　“或”逻辑电路

引导学生分析开关A、B对电路的控制作用，体会“或”逻辑关系。

教师指出：具有“或”逻辑关系的电路称为“或”门电路，简称“或”门。符号如图4—18所示。

图4—18　“或”门的符号

（1）“或”逻辑关系的数学表达，寻找“或”电路的真值表。

把开关接通定义为1，断开定义为0，灯泡亮为1，熄为0，将表4—4制成表4—5。表4—5就是反映“或”门输入输出关系的真值表。

教师投影：

表4—4　“或”逻辑电路的各种情况　表4—5　“或”门的真值表

（2）总结“或”逻辑关系：在几个控制条件中，只要有一个条件得到满足，结果就会发生。这种关系称为“或”逻辑关系。

让学生理解数字信号“或”逻辑关系、对“或”逻辑关系的详细分析，理解并记住“或”逻辑的真值表。

（3）演示“或”门电路实验（见图4—19）。

图4—19　晶体二极管“或”门电路

通过示范性的操作演示讲解，理解“或”门电路实现“或”关系处理的电路原理，为下一阶段探究“非”关系及“非”门电路做准备。

3．“非”门

教师投影（见图4—20）。

图4—20　“非”逻辑电路

（1）引导学生分析开关A对电路的控制作用，体会“非”逻辑关系。

教师仍然把开关接通定义为1，断开定义为0，灯泡亮为1，熄为0，请学生自己探究输入与输出间的关系，说明什么是“非”逻辑。

学生讨论，得出结论——输出状态和输入状态成相反的逻辑关系，叫作“非”逻辑。

教师指出：具有“非”逻辑关系的电路称为“非”门电路，简称“非”门。符号如图4—21所示。

图4—21　“非”门的符号

学生自己列出“非”门的真值表（见表4—6）。

表4—6　“非”门的真值表

（2）教师介绍集成电路的优点，让学生了解几个“与”门的集成电路和几个“非”门的集成电路的外引线图，投影（见图4—22、图4—23）。

图4—22　“与”门集成电路的外引线

图4—23　“非”门集成电路的外引线

（3）演示“非”门电路实验（见图4—24）。

图4—24　“非”门的输入信号和输出信号

［实例探究］

图4—25是一个火警报警装置的逻辑电路图。R_t是一个热敏电阻，低温时电阻值很大，高温时电阻值很小，R是一个阻值较小的分压电阻。

（1）要做到低温时电铃不响，火警时产生高温，电铃响起。在图中虚线处应接入怎样的元件？

（2）为什么温度高时电铃会被接通？

图4—25　火警报警装置

（3）为了提高该电路的灵敏度，即报警温度调得稍低些，R的值应大一些还是小一些？

解：（1）温度较低时R_t的阻值很大，R比R_t小得多，因此P、X之间电压较大。要求此时电铃不发声，表明输出给电铃的电压应该较小，输入与输出相反，可见虚线处元件应是“非”门。

（2）当高温时R_t阻值减小，P、X之间电压降低，输入低电压时，从“非”门输出的是高电压，电铃响起。

（3）由前面分析可知，若R较大，由于它的分压作用，R_t两端的电压不太高，则外界温度不太高时，就能使P、X之间电压降到低电压输入，电铃就能发声。因此R较大，反应较灵敏。⁽³⁾

勤思多练

【数学】

1．（2013年高考全国文科数学一卷）已知命题p：A x∈R，2^x＜3^x；命题q：E x∈R，x³＝1－x²，则下列命题中为真的是（　　）。

A．p∧q

B．↑p∧q

C．p∧↑q

D．↑p∧↑q

（参考提示：命题p假，命题q真，所以↑p∧q真，选B。）

2．（2007年高考山东卷）命题“对任意的x∈R，x ³－x ²＋1≤0”的否定是（　　）。

A．不存在x∈R，x ³－x ²＋1≤0

B．存在x∈R，x ³－x ²＋1≥0

C．存在x∈R，x ³－x ²＋1＞0

D．对任意的x∈R，x ³－x ²＋1＞0

（参考提示：否定全称得特称，选C。）

【物理】

（2012年高考上海卷）如图4—26，低电位报警器由两个基本的门电路与蜂鸣器组成，该报警器只有当输入电压过低时蜂鸣器才会发出警报，其中（　　）。

A．甲是“与”门，乙是“非”门

B．甲是“或”门，乙是“非”门

C．甲是“与”门，乙是“或”门

D．甲是“或”门，乙是“与”门

（参考提示：选B。）

图4—26　低电位报警器