如何准确判断命题价值-逻辑让学习更可靠

2024-07-27 百科知识版权反馈

【摘要】：一辨别命题（判断）的恰当性准确掌握知识教学案例在人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册的“相交线与平行线”一章的“相交线”一节中，给出了“对顶角”、“邻补角”、“垂线”、“垂线段”、“点到直线的距离”等概念，这些属于逻辑中的概念范畴。上述案例题目1，根据一些作为前提的命题推出了一些作为结论的命题，要求学生判断作为结论的命题是否正确。

一　辨别命题（判断）的恰当性准确掌握知识

教学案例

在人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册的“相交线与平行线”一章的“相交线”一节中，给出了“对顶角”、“邻补角”、“垂线”、“垂线段”、“点到直线的距离”等概念，这些属于逻辑中的概念范畴。这一节中也得出了“对顶角相等”、“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”、“垂线段最短”等判断，这些属于逻辑中的命题范畴。

某教师在这一节的最后一堂课上设计了一些习题，在此摘录两个与命题相关的题目：

1．如图4—1，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，下列结论正确的有（　　）。

图4—1　△ABC

（1）AB与AC互相垂直

（2）AD与AC互相垂直

（3）点C到AB的垂线段是线段AB

（4）点A到BC的距离是线段AD

（5）线段AB的长度是点B到AC的距离

（6）线段AB是点B到AC的距离

2．下列语句正确的是（　　）。

A．相等的两个角是对顶角

B．一条射线是一个周角

C．点A、B、C、D、E是直线L上的点，点P是直线L外一点，PA＞PB＞PC＞PD＞PE，则PE的长是点P到L的距离

D．两条直线相交所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直

逻辑辨析

上面这两个题目除了能很好地检验学生对数学概念、性质的掌握情况外，更重要的是能在一定程度上考查学生对于逻辑命题、推理的理解程度。

上述案例题目1，根据一些作为前提的命题推出了一些作为结论的命题，要求学生判断作为结论的命题是否正确。回答题目中的（1）和（2）时，学生首先需要准确确立一个假言前提，即“两条直线相交所成的四个角中，如果有一个是90°，就说这两条直线互相垂直”；然后确定题中的两条直线AB与AC所成的角为90°，而直线AD与AC所成的角不等于90°；进而推理得出“AB与AC互相垂直”这一命题正确，“AD与AC互相垂直”这一命题错误。

题目1中的（3）～（6）是以性质命题的形式呈现的。这些题目可以检验学生对“垂线段”、“点到直线的距离”等概念的掌握情况。解题思维过程同上。在对后三个命题进行分析判断时，特别要注意：“线段AB”真包含于“图形”这一词项中，“线段AB的长度”真包含于“数值”这一词项中，它们两个不能等同。比如“点A到BC的距离是线段AD”表达的是“某一个数值是某一个图形”，显然不正确。

题目2中给出了许多命题，要求学生根据自己已有的知识判断这些命题正确与否。选项A颠倒了“对顶角相等”中的主项和谓项，但是由于“对顶角”与“相等的两个角”是真包含于关系而非全同关系，所以此命题为假；选项B的问题与题目1中（4）的问题一样；选项C主要考查“垂线段最短”的条件，应在“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中”考虑，最短的才有可能为垂线段；选项D需先把“两条直线相交所成的四个角相等”转化为“两条直线相交所成的四个角都是90°”，再根据所学知识判断其正确性。

从这个教学案例可以看出，学生能否辨别一个命题的恰当性，直接影响其对知识的理解和掌握。

知识链接

命题是运用语句反映客观对象情况的思维形式。命题的特征在于它有真假。如命题反映的内容与客观对象情况符合，则命题是真的；如命题反映的内容与客观对象情况不符合，则命题是假的。

命题具有不同类型。按照一命题中是否还包含其他命题，我们可以首先将所有命题区分为两大类：简单命题和复合命题。

所谓简单命题，就是指一命题中不再包含其他命题的命题。对于简单命题，根据其反映的是对象的性质还是关系，又可以将其分为性质命题和关系命题两类。

从其形式上看，性质命题是主谓式命题，它断定了某个（类）对象具有或者不具有某种性质，性质命题也叫直言命题或者直言判断，是断定思维对象具有或者不具有某种性质的简单判断。性质命题由主项、谓项、量项和联项四部分组成。例如下述性质命题：

如果量项涉及的是某一个体对象，则称该命题为“单称命题”；如果量项涉及的是一部分对象，则称该命题为“特称命题”；如果量项涉及的是全部对象，则称该命题为“全称命题”。

如果联项表示的是一种肯定，则称该命题为“肯定命题”；如果联项表示的是一种否定，则称该命题为“否定命题”。

如果把所含联项和量项结合起来考虑，并且以S表示主项，以P表示谓项，就可以把性质命题细分为六种类型：

（1）全称肯定命题：所有S都是P，记为SAP，缩写为A。

（2）全称否定命题：所有S都不是P，记为SEP，缩写为E。

（3）特称肯定命题：有的S是P，记为SIP，缩写为I。

（4）特称否定命题：有的S不是P，记为SOP，缩写为O。

（5）单称肯定命题：某个S是P。

（6）单称否定命题：某个S不是P。

性质命题的主项和谓项在语言学上都是语词，都表达着概念，而概念都有内涵和外延。性质命题之间的对当关系是指有相同素材（即有相同主项和谓项）的性质命题间的真假关系。也就是从给定的一个性质命题的真或假去推断另一具有相同素材的性质命题的真或假。如果没有相同的主谓项，则无法比较它们的真假。可以把A、E、I、O之间的真假关系概括为四类，即矛盾关系、差等关系、反对关系和下反对关系。(www.chuimin.cn)

一、反对关系

指A与E的关系，它们之间不能同真，但可以同假。于是，若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个真假不定。例如，已知“所有的动物都能运动”为真，可以推出“所有的动物都不能运动”为假；但是，我们从“我班所有同学都是学校一等奖学金获得者”为假，却不能推出“我班所有同学都不是学校一等奖学金获得者”的真假。

二、差等关系

亦称“从属关系”。指A与I、E与O之间的关系。这种关系存在于同质（同为肯定或否定）的全称命题和特称命题之间，我们可以把它概括为：如果全称命题为真，则相应的特称命题为真；如果特称命题为假，则相应的全称命题为假；如果全称命题为假，则相应的特称命题真假不定；如果特称命题为真，则相应的全称命题真假不定。例如，如果“有的书没有价值”为真，那么从逻辑上不能知道“所有的书都没有价值”的真假；但是如果前一个命题为假，那么后一个命题必为假。

三、矛盾关系

指A与O、E与I的关系。它们之间既不能同真，也不能同假，因而必有一真，也必有一假。于是，由一个为真，就可以推出另一个为假；由一个为假，就可以推出另一个为真。例如，由“所有金子都是闪光的”为真，可以逻辑地推出“有些金子不闪光”为假；由“有的哺乳动物是卵生的”为真，可以逻辑地推出“所有哺乳动物都不是卵生的”为假。

有时我们也撇开真假概念，用否定词汇、等值把矛盾关系表述如下：

（1）“SAP”等值于“并非SOP”；

（2）“SEP”等值于“并非SIP”；

（3）“SIP”等值于“并非SEP”；

（4）“SOP”等值于“并非SAP”。

这里所说的两个命题等值是指：两个命题的形式可能不同，但表达的逻辑内容是相同的，即它们恒取相同的真假值。

四、下反对关系

指I与O的关系，它们之间可以同真，但不能同假。于是，由一个为假，可以逻辑地推出另一个为真；但从一个为真，不能确切地知道另一个的真假。例如，已知“有些书架上的书是英文书”为假，则可以推出“有些书架上的书不是英文书”为真；但是从“有些花朵是有毒的”为真，却不能推出“有些花朵不是有毒的”的真假。

可以用图来刻画对当关系，这种图被称为“逻辑方阵”或者“对当方阵”（见图4—2）。

图4—2　逻辑方阵

扩展延伸

有的逻辑书只讲命题，而不提判断；有的逻辑书则只讲判断，而不提命题。命题和判断是两个相互关联的逻辑术语。目前，对于命题和判断的关系，尚存在不同看法：有的认为，命题就是判断，判断就是命题；有的认为，表达判断的语句是命题，不表达判断的语句就不是命题；有的认为，所有判断都是命题，但有些命题不是判断；等等。我们不在此做比较严格的划分。我们认为，判断是被断定了的命题，是断定者在一定时空条件下对命题的认识，它断言一命题或是真，或是假。

在本书中，我们一般采用“命题”一词，但在不严格的意义上，它与“判断”一词是等价的。

勤思多练

【综合】

举出学科中辨别命题恰当性的例子，并分析其中的思维过程和考查的学科知识。

（参考提示：在物理学中，“一切物体都具有动能”这一命题就是一个不恰当的命题。从逻辑思维角度看，上述命题之所以不恰当，就在于把一个本应以特称形式呈现的命题“有些物体具有动能”，扩大为以全称形式呈现的命题“一切物体都具有动能”。从学科知识角度看，上述命题之所以不恰当，就在于没有准确理解“动能”概念。“动能”是物体由于运动而具有的能，所以，如果一个物体相对于参照系处于静止状态，则该物体就不具有动能。）

【物理】

对于物理学史上的四个重大发现，下列四个命题中说法不正确的是（　　）。

A．卡文迪许通过扭秤实验，测定出了万有引力恒量

B．奥斯特通过实验研究，发现了电流周围存在磁场

C．法拉第通过实验研究，总结出法拉第电磁感应定律

D．牛顿根据理想斜面实验，提出力不是维持物体运动的原因

（参考提示：选D。）

【数学】

下列命题不正确的是（　　）。

A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形

B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形